Qozogiston respublikasi ta’lim va fan vazirligi shimoliy Qozog'iston davlat universiteti

1.5 Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida integrallash

Umumiy holatda birinchi tartibli oddiy differensial tenglamani (ODE) integrallash orqali aniq yechimini topish mumkin emas. Bundan tashqari, bu ODE tizimi uchun amalga oshirilmaydi. Ushbu holat ODE va ularning tizimlarini echishning ko'plab taxminiy usullarini yaratishga olib keldi . Taxminiy usullarning uch guruhi mavjud: analitik, grafik va raqamli. Albatta , bunday tasnif ma'lum darajada shartli. Masalan, differensial tenglamani sonli yechish usullaridan biri negizida Eyler siniq chiziqning grafik usuli yotadi.

Quvvat seriyasidan foydalangan holda ODE ning integratsiyasi taxminan analitik usul bo'lib, odatda kamida ikkinchi darajali chiziqli tenglamalarga qo'llaniladi. Oddiylik uchun biz o'zgaruvchan koeffitsientli chiziqli bir hil ikkinchi darajali ODEni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.


(1.12)

Izoh: juda keng funktsiyalar sinfi sifatida ifodalanishi mumkin

qayerda . Bu ifoda kuch qatori deyiladi.

Faraz qilaylik, funksiyalar oraliqda yaqinlashuvchi qatorlarga kengaytirilishi mumkin :


(1.13)

Quyidagi teorema o'rinli (isbotni e'tiborsiz qoldirib, biz faqat uning bayonotini keltiramiz) [10].

1.5 teorema: agar funktsiyalar (1.13) ko'rinishga ega bo'lsa, u holda ODE (1.12) ning har qanday yechimi quyidagicha yaqinlashuvchi kuch qatori sifatida ifodalanishi mumkin :


(1.14)

Bu teorema yechimni darajalar qatori ko’rinishida ifodalash imkoniyatini yaratibgina qolmay, eng muhimi (1.14) qatorning yaqinlashuvini asoslaydi. Oddiylik uchun biz (1.13) va (1.14) ni qo'yamiz va ODE (1.12) ning echimini shaklda qidiramiz.

(1.15)

(1.15) ni (1.12) ga almashtirib, tenglikni olamiz

(1.16)

nolga teng bo'lishi kerak .

Bu shartdan chiziqli algebraik tenglamalarning cheksiz sistemasini olamiz

qiymatlari ko'rsatilgan bo'lsa, ularni ketma-ket topish mumkin (ODE uchun Koshi muammosida (1.12) ular boshlang'ich shartlarga kiritilgan ).

Funktsiyalar oqilona bo'lsa, ya'ni.

qayerda bo'lsa, u holda yoki daraja qatori ko'rinishidagi yechim mavjud bo'lmasligi mumkin bo'lgan nuqtalar yaqinida , agar mavjud bo'lsa, nuqtadan tashqari hamma joyda ajralishi mumkin.Bu holat hatto L. Eylerga ham ma'lum edi. birinchi tartibli tenglamani ko'rib chiqqanlar

Bu tenglama kuch qatori bilan qanoatlantiriladi

Biroq, bu seriya har qanday kishi uchun farqlanishini ko'rish oson

ODE ning divergent quvvat qatori shaklidagi yechimi formal deyiladi [11].