Qozogiston respublikasi ta’lim va fan vazirligi shimoliy Qozog'iston davlat universiteti

2.2 Integratsiyaga misollar

boshlang'ich shartda Koshi muammosini echishni talab qiladigan hollarda Teylor qatoridan foydalanib yechim izlash mumkin:

bu yerda va keyingi hosilalar asl tenglamani ketma-ket differensiallash va qiymatlar va barcha boshqa topilgan keyingi hosilalar o‘rniga differentsiallash natijasiga almashtirish yo‘li bilan topiladi . Xuddi shunday yuqori tartibli tenglamalarni Teylor qatori yordamida integrallash mumkin [13].

2.1-misol. Tenglamani taxminan Teylor qatoridan foydalanib, kengayishning nolga teng bo'lmagan birinchi oltita shartini olib integrasiya qiling [12].
Boshlang'ich shartlar tenglamasidan biz topamiz Ushbu tenglamani differensiallash orqali biz ketma-ket olamiz

Qiymatlarni ketma-ket qabul qilib , ishlatib , biz kerakli yechim shaklga ega ekanligini topamiz

2.2-misol. Kengayishning dastlabki to‘rt (noldan farqli) shartlarini toping [12].

Bizda mavjud bo'lgan tenglamani differensiallash

Qachon olamiz

Yechim o'xshaydi

2.3-misol. [14] tenglamani integrallang .

Bu tenglamaning yechimini ketma-ketlik shaklida izlaymiz

almashtirib , topamiz

Keling, bir xil darajadagi atamalarni guruhlaymiz :

Olingan qatorning barcha koeffitsientlarini nolga tenglashtirib (tenglama o'ziga xoslikka aylanishi uchun) biz topamiz.

Oxirgi munosabat bizga kerakli kengayishning barcha koeffitsientlarini ketma-ket topishga imkon beradi ( va o'zboshimchalik bilan qoladi va ixtiyoriy integratsiya konstantalari rolini o'ynaydi):

Shunday qilib,

Olingan qator butun real o'q bo'ylab yaqinlashadi va dastlabki tenglamaning ikkita chiziqli mustaqil qisman yechimini aniqlaydi.

2.4-misol. Koshi muammosi yechimining darajalar qatorini kengaytirishning dastlabki to‘rtta hadini toping [14].
Ko'rinib turibdiki, funktsiya o'zgaruvchilarda va nuqta yaqinida Teylor qatoriga kengaytirilishi mumkin va bu qator butun tekislikda yaqinlashadi.
Biz muammoning yechimini shaklda qidiramiz


(2.3)

Biz topgan shartdan

Ushbu tenglamani kerakli yechimga nisbatan o'ziga xoslik sifatida farqlash va biz topamiz deb faraz qilish

Topilgan qiymatlarni ketma-ket (2.3) ga almashtirib, belgilangan aniqlik bilan kerakli yechimni olamiz: