Qozogiston respublikasi ta’lim va fan vazirligi shimoliy Qozog'iston davlat universiteti

1.1

1.2 Quvvat seriyasi. Quvvat seriyasining xususiyatlari

Quvvat seriyalari funksional qatorlarning alohida holatidir.

Quvvat qatori shaklning funksional qatoridir


(1.5)

bu erda - quvvat seriyasining koeffitsientlari deb ataladigan doimiy haqiqiy sonlar;

- ba'zi doimiy raqam;
- haqiqiy sonlar to'plamidan qiymatlarni oladigan o'zgaruvchi.
At , quvvat qatori (1.5) shaklni oladi


(1.6)

(1,5) darajalar qatori (1,6) darajalar qatori deyiladi - darajalar qatori Agar o'zgaruvchiga biron bir qiymat berilsa, u holda (1,5) (yoki (1,6)) darajalar qatori shunday sonli qatorga aylanadi. yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin.

darajalar qatori yaqinlashadigan qiymatlar to'plami .
Teorema 1.2 (Abel teoremasi): agar darajali qator (1.6) uchun yaqinlashsa, u tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha qiymatlar uchun mutlaqo yaqinlashadi , agar (1.6) qator uchun farq qilsa , u tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlar uchun ajralib chiqadi.
Abel teoremasi darajalar qatorining yaqinlashish mintaqasining tuzilishi haqida aniq tasavvur beradi.
Teorema 1.3: (1.6) darajali qatorning yaqinlashish mintaqasi quyidagi intervallardan biriga to'g'ri keladi:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

qayerda qandaydir manfiy bo'lmagan haqiqiy son yoki

Raqam yaqinlashish radiusi deb ataladi, oraliq kuch seriyasining yaqinlashuv oralig'i deb ataladi (1.6).
Agar yaqinlashuv oralig'i butun haqiqiy o'q bo'lsa
Agar u holda konvergentsiya oralig'i nuqtaga aylansa
Eslatma: agar darajali qator (1.2) uchun yaqinlashish oralig'i bo'lsa, u holda (1.5) darajali qator uchun yaqinlashish oralig'i bo'ladi.
1.3-teoremadan kelib chiqadiki, (1.6) darajali qatorning yaqinlashish mintaqasini amaliy topish uchun uning yaqinlashish radiusini topish va bu qatorning yaqinlashish oralig'i oxiridagi yaqinlashuvi haqidagi savolga aniqlik kiritish kifoya. , ya'ni, da va
yaqinlashuv radiusini quyidagi formulalardan biri yordamida topish mumkin:
d'Alember formulasi:

Koshi formulasi:

1.3-misol. Kuchli qatorning yaqinlashish radiusini, yaqinlashish intervalini va yaqinlashuv maydonini toping.

Ushbu qatorning yaqinlashish radiusini formula bo'yicha toping
Bizning holatda

Keyin

Shuning uchun bu qatorning yaqinlashish oralig'i shaklga ega

Keling, yaqinlashuv oralig'ining uchlarida qatorning yaqinlashuvini o'rganamiz.
Quvvat qatori sonlar qatoriga aylanganda

garmonik qator sifatida ajralib chiqadi.

Quvvat qatori sonlar qatoriga aylanganda


.

Bu muqobil qator bo'lib, uning shartlari mutlaq qiymatni kamaytiradi va

Shuning uchun, Leybnits testiga ko'ra, bu sonlar qatori yaqinlashadi.

Shunday qilib, interval berilgan quvvat qatorining yaqinlashish mintaqasidir [5].
yaqinlashuv oralig'ida aniqlangan funksiya, ya'ni.

Funktsiyaning ba'zi xususiyatlari

Xususiyat 1. Funktsiya yaqinlashish oralig'iga tegishli bo'lgan har qanday segmentda uzluksizdir
Xossa 2. Funksiya oraliqda differensiallanadi va uning hosilasini (1.6) qatorni haddan-hajda differentsiallash yo’li bilan topish mumkin, ya’ni.

Barcha uchun

Xususiyat 3. Funktsiyaning hamma uchun noaniq integrali (1.6) qatorni muddatlar bo'yicha integrallash yo'li bilan olinishi mumkin, ya'ni.

Barcha uchun

Shuni ta'kidlash kerakki, darajalar qatorining muddatlar bo'yicha differensiatsiyasi va integrasiyasi uning yaqinlashish radiusini o'zgartirmaydi, lekin oraliq oxiridagi yaqinlashishi o'zgarishi mumkin [6].
Yuqoridagi xususiyatlar quvvat seriyalari uchun ham amal qiladi (1.5).
1.4-misol. Quvvat seriyasini ko'rib chiqing

1.3-misolda ko'rsatilganidek, bu qatorning yaqinlashish mintaqasi intervaldir

Keling, ushbu turkum atamasini atama bo'yicha farqlaylik:


(1.7)

2-xususiyatga ko'ra, hosil bo'lgan kuch seriyasining (1.7) yaqinlashish oralig'i intervaldir

Keling, konvergentsiya oralig'i oxirida ushbu qatorning harakatini o'rganamiz.
, uchun kuch qatori (1.7) sonli qatorga aylanadi

Bu sonli qator farqlanadi, chunki yaqinlashuvning zaruriy mezoni qoniqtirilmaydi.

qaysi mavjud emas.

, uchun kuch qatori (1.7) sonli qatorga aylanadi

zarur yaqinlashuv mezoni qondirilmagani uchun ham ajraladi.

Binobarin, dastlabki darajali qatorlarni muddatlar bo'yicha differensiallash yo'li bilan olingan darajalar qatorining yaqinlashuv mintaqasi o'zgardi va intervalga to'g'ri keladi [5].