Qozogiston respublikasi ta’lim va fan vazirligi shimoliy Qozog'iston davlat universiteti

2. DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI INTEGRASYONDA KUCH QARSIYASIDAN FOYDALANISHGA MISALLA.

Havo tenglamasi

Airy tenglamasining yechimi

quvvat qatori shaklida qidiramiz (1.15). Keyin tenglik (1.16) shaklni oladi

Har bir darajadagi koeffitsientni nolga tenglashtiramiz

Koeffitsient at teng Shuning uchun, at koeffitsientining tengligidan nolga teng bo'lgan koeffitsientni topamiz .
Ushbu formuladan biz olamiz

Xuddi shunday, biz topamiz

Koeffitsientlar va aniqlanmagan. Yechimlarning asosiy tizimini topish uchun birinchi navbatda , keyin esa aksincha. Birinchi holda bizda bor

va ikkinchisida

Teorema 1.5 ga asoslanib, bu qatorlar haqiqiy chiziqning hamma joyida yaqinlashadi

Funktsiyalar Airy funktsiyalari deb ataladi. Katta qiymatlar uchun bu funksiyalarning asimptotik harakati formulalar bilan tavsiflanadi

Bu funksiyalarning grafiklari 1-rasmda keltirilgan.

1 -rasm

Cheksiz o'sish bilan, Airy tenglamasining har qanday yechimining nollari cheksiz ravishda yaqinlashadi, bu ushbu echimlarning asimptotik tasviridan ko'rinadi, lekin Airy funktsiyalarini konvergent quvvat qatorlari shaklida tasvirlashdan umuman aniq emas. Bundan kelib chiqadiki, ketma-ketlik yordamida ODE yechimini izlash usuli, umuman olganda, amaliy masalalarni yechishda unchalik qo‘llanilmaydi va yechimning ketma-ket ko‘rinishida ko‘rsatilishining o‘zi tahlil qilishni qiyinlashtiradi. olingan eritmaning sifat xossalari [9].

2.1 Bessel tenglamasi

O'zgaruvchan koeffitsientli chiziqli differensial tenglama shaklga ega

, ,(2.1)

Bessel tenglamasi deyiladi.

Biz (2.1) tenglamaning yechimini umumlashtirilgan quvvat qatori shaklida qidiramiz, ya'ni. dasht qatoridagi ma'lum darajada mahsulotlar :
(2.2)

Umumlashtirilgan quvvat qatorini (2.1) tenglamaga qo'yib, tenglamaning chap tomonidagi har bir quvvatdagi koeffitsientlarni nolga tenglashtirib, biz tizimni olamiz.

sistemadan biz sistemaning ikkinchi tenglamasidan Let Keyin topamiz va 3,5,7,... qiymatlarini beruvchi tenglamadan shunday xulosaga kelamizki, juft sonli koeffitsientlar uchun biz ifodalarni olamiz.

Topilgan koeffitsientlarni ketma-ket (2.2) ga almashtirib, yechimni olamiz

bu erda koeffitsient ixtiyoriy bo'lib qoladi.

Barcha koeffitsientlar uchun xuddi butun songa teng bo'lmagan hollardagina aniqlanadi . Keyin oldingi yechimdagi qiymatni quyidagi bilan almashtirish orqali yechimni olish mumkin :

Olingan quvvat seriyalari d'Alembert mezoni asosida osongina o'rnatiladigan barcha qiymatlari uchun birlashadi. Yechimlar chiziqli mustaqildir, chunki ularning nisbati doimiy emas.

Konstantaga ko'paytirilgan eritma birinchi turdagi tartibdagi Bessel funktsiyasi (yoki silindrsimon funktsiya) deb ataladi va belgisi bilan belgilanadi Yechim belgilanadi .
Konstantaning umumiy qabul qilingan tanlovi noto'g'ri integral bilan aniqlanadigan gamma funktsiyasini o'z ichiga oladi :

Binobarin, (2.1) tenglamaning umumiy yechimi butun songa teng bo'lmaganda va ixtiyoriy doimiylar ko'rinishga ega bo'ladi [12].