Rahmonqulova komila muhammadi qizi tub sonlar taqsimoti va aniq formulalar

Cheksiz koʻp tub sonlarning muhim isboti

Eylerning tub sonlar cheksizligining isboti. XII asrda Eyler cheksiz koʻp tub sonlar mavjudligiga turli xil isbotlar keltirdi, ulardan biri keyinchalik sodir boʻladigan jarayonlarga katta ta’sir qiladi. Faraz qilaylik, yana tub sonlar roʻyxati boʻlsin. Eyler arifmetikaning asosiy teoremasi { : n musbat butun son} va toʻplamlarda bir xil sonlar mavjudligini nazarda tutishini kuzatdi. Shuning uchun ham birinchi toʻplam elementlarini oʻz ichiga olgan yigʻindi ikkinchi toʻplamning elementlarini oʻz ichiga olgan oʻxshash yigʻindiga teng boʻlishi kerak.

Jumladan,




Oxirgi tenglik oʻrinli, chunki ikkinchidan oxirgi qatordagi har bir yigʻindi geometrik progressiyani tashkil qiladi. Eyler isbotlailgani, agar ni olsak, u holda chap tomon

ga aylanadi ([7], 4D ilovada (4.14)) va oʻng tomoni ratsional sonlarning chekli koʻpaytmasiga teng,

oʻzi ratsional (va shuning uchun chekli) sondir. Bu qarama-qarshilik shuni anglatailgani, tub sonlar chekli boʻla olmaydi.
Eyler formulasining ajoyib tomoni shundaki, unga oʻxshash narsa tub sonlar soni haqida hech qanday taxminlarsiz amal qiladi. Shunday qilib

har ikki tomon absolyut yaqinlashuvchi boʻlganda ham amal qiladi, biz hozir ([7], 4B ilovada (4.9)) boʻlganda sodir boʻlishini koʻrsatamiz. Chap tomon uchun, agar bilan boʻlsa, u holda yaqinlashish shartlarining absolyut qiymatlari yigʻindisi quyidagicha:

Bu yerda biz

dan foydalanilgan, chunki da kamayuvchi funksiya ([7], 4D ilovada (4.14)). Agar yaqinlashuvchi boʻlsa, har bir bilan koʻpaytma absolyut yaqinlashuvchi boʻladi. Har bir boʻlganligi sababli (1.1) dagi Eyler koʻpaytmasi absolyut yaqinlashishini xulosa qilamiz, shuning uchun oxirgi koʻrsatilgan tenglama boʻyicha

oʻrinli.
Biz hozirgina koʻrdikki, (1.1) 1 nuqtadan oʻtuvchi kompleks tekislikdagi gorizontal chiziqning oʻng tomonida boʻlganda mantiqiy boʻladi. Eyler singari, biz boʻlganda (1.1) bilan nima sodir boʻlishini izohlash imkoniyatiga ega boʻlishni xohlaymiz. Yaqinlashish muammolari yoʻqolmaganligi uchun biz ikkala tomonning limitini sifatida qabul qilishimiz kerak, chunki (1.1)
ning haqiqiy qiymatlari uchun amal qiladi. Endi kamayuvchi funksiya boʻlganligi uchun har bir uchun va integral
1 uzunlik interval boʻyicha va shuning uchun

Keyin (1.1) shuni anglatadi

demak,

Logarifmlarni qabul qilganda, bu Eylerning quyidagi mashhur natijasini anglatadi