Разработка тепломеханической модели процесса вентилирования рефрижераторных вагонов для перевозки ягод винограда

1 пример.
Двумерная (плоская) задача теплопроводности в цилиндрических координатах - r и φ. Попробуем решить аналитически (с применением ЭВМ для итераций и кусочно-линейной аппроксимации ) в случае фиксированной температуры на концах двумерную задачу теплопроводности для любой функции точечного охлаждающего источника с использованием двумерного уравнения теплопроводности в цилиндрических координатах – r и . Уравнение согласно [5, 15, 17] имеет вид:
Для фиксированной темпера туры при Т = Т к
Уравнение (3.46) примет вид, аналогичный уравнению (23)
(47)
где
(48)
Считаем, что по длине Z изменение температурного поля (в первом приближении) незначительно, т.е. по длине грузового помещения рефрижераторного вагона (ось OZ) – процесс изотропный.
Получили уравнение Лапласа вида
(48),
которое допускает частные решения вида
(50),
где m=0, 1, 2 ...
(51),
где А, В, , - произвольные постоянные, определяемые краевыми условиями.
Решение уравнения (47) получим аналогично 1-му примеру, с использованием метода Фурье. Решение будем отыскивать в виде
(52)
Подставив (3.51) и его производные в уравнение (3.47), получим, проведя разделение переменных систему 3-х обыкновенных дифференциальных уравнений вида:
(53),
где (5.54); (54,а)


(55),
(56).
Чтобы из уравнения (3.56) получить известное уравнение Бесселя [5, 7, 9, 11] введем обозначения , тогда получим дифференциальное уравнение Бесселя классического типа в виде
(57),
где - действительное число;
- цилиндрическая функция, при условии ограниченности решения Т при r = 0 - функция Бесселя первого рода - . Она согласно [5, c.777] вычисляется по формуле
(57,а),
при условии ( ).
Таким образом, решение уравнения (47) предполагает собой совместное решение системы 3-х независимых уравнений ( для каждого К ) в виде:
(58),
(59),
(60).
Вид решения уравнения (3.58) согласно [6,8,18] известен:
(61),
где , произвольные постоянные
и определяются из граничных условий:
при t > 0 ;
при условии изменения
; .
Граничные условия для уравнения (3.59) имеют вид:
при t > 0 ;
при условии изменения
; .
Начальное условие примем в виде
(64),
где имеется ввиду точечный источник охлаждения, создающий температурное поле по радиусу r и углу .
Например, в виде
(65),
где коэффициенты и определяются по экспериментальным данным.
Процесс аналитического и численного решения системы уравнений (58)-(60) аналогичен одномерной задаче (пример 1).
Общее решение уравнения (47) имеет вид:
(66),
где - функция Бесселя первого рода,
- собственная частота импульсного изменения температурного поля массива ягод винограда по времени, определяется из частотного уравнения вида

Функцию Т к(t) определим из уравнения (3.60) путем применения преобразования Лапласа по времени при условии t > 0; , получим
, т.е.
или
.
Таким образом, оригинал решения по
будет иметь вид
(67)
Таким образом, общее решение уравнения (3.47) для двумерной задачи распространения температурных полей в грузовом помещении рефрижераторного вагона при перевозке ягод винограда будет иметь следующий вид:

(68).
Далее определим и β в уравнении (3.68) и получим частотное уравнение для определения :
(68,а)
Решение трансцендентного уравнения (3.66,а) можно получить методом итераций с применением ЭВМ. В частном случае, при условии получим уравнение ,
Решение которого известно
, где n = 1, 2, 3 …
При этом ,
а , ,
а , и т.д.