Реферативно-исследовательская работа: Решение нестандартных задач

Задание 2. Решите уравнение:
Решение:
Пусть , тогда
4cos у = 3cos(π + Зу), 4cos у = –3cos3y,
(3cos у + 3cos3у) + cos у = 0,
6cos2у cos у + cos у = 0,
cos у (6cos2у + 1) = 0.
Отсюда найдем у, а затем х.
Ответ:
Задание 3. Решите уравнение
Первое слагаемое ≥0 при всех допустимых значениях ч, у второго слагаемого основание логарифма и выражение, под знаком логарифма cos x (0;1], следовательно, второе слагаемое также ≥0. Значит, сумма может быть равна нулю только, когда каждое слагаемое равно нулю, т.е.

Ответ: –2π; 6π
Метод функциональной подстановки
Метод функциональной подстановки является, пожалуй, самым распространенным методом решения сложных задач школьной математики. Суть метода состоит во введении новой переменной у = f(x), применение которой приводит к более простому выражению. Частным случаем функциональной подстановки является тригонометрическая подстановка.
Основная трудность решения задач методом функциональной подстановки заключается в том, что зачастую трудно угадать вид самой подстановки и вид уравнений (или неравенств), где эту подстановку можно использовать.
Задание 1. Решить уравнение

Решение:
Обозначим (очевидно, что у≥0). Тогда у²=2х–5 или . В таком случае

И из получаем уравнение
или |у+1| + |у+3|=14.
Поскольку у≥0, то |у+1| = у+1, |у+3|=у+3. В этой связи уравнение |у+1| + |у+3|=14 принимает вид у + 1 + у+3=14. Отсюда получаем у=5, и х₁= 15.
Ответ: х₁= 15.
Задание 2.Решите уравнение.
tg²x+tg⁴x+tg⁶x+ctg²x+ctg⁴x+ctg⁶x=6
(tg²x+ctg²x)+( tg⁴x+ctg⁴x)+ (tg⁶x+ctg⁶x)=6
Если tg²x+ctg²x=m
возведем обе части равенства в квадрат
(tg²x+ctg²x)²=m²
tg⁴x+2 tg²x∙ctg²x + ctg⁴x=m²
tg⁴x+2 +ctg⁴x=m²
tg⁴x+ctg⁴x=m²–2,
аналогично рассуждая, получим tg⁶x+ctg⁶x=m³–3m,
подставим полученные значения в исходное уравнение
m+m²–2+m³–3m=6,
m³+m²–2m–8=0,
(m³–8)+(m²–2m)=0
(m–2)(m²+2m+4)+m(m–2)=0
(m–2)∙( m²+3m+4)=0

Имеем, что tg²x+ctg²x=2, tg²x+

Ответ: