Reja: 1 Darajali qatorlar haqida ma’lumotlar

1.1.7-ta’rif. Yuqorida keltirilgan son darajali qatorning yaqinlashish radiusi, interval esa darajali qatorning yaqinlashish intervali deyiladi.
Eslatma. 1)-holda darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb,
darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb olinadi.
Darajali qatorning yaqinlashish radiusini topish.
Biror

darajali qatorni qaraylik. Bu qator koeffisientlaridan tuzilgan ketma-ketlik uchun
1) da ,
2) mavjud bo’lsin. U holda darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’ladi.
Koshi-Adamar teoremasi
1.1.8-teorema Ushbu

darajali qatorning yaqinlashish radiusi
(1.1.16)
bo’ladi.
Eslatma. Agar

bo’lsa, darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb,

bo’lsa, darajali qatorning yaqinlashish radiusi deb olinadi. Darajali qatorning tekis yaqinlashishi.
Aytaylik, ushbu
(1.1.17)
darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lsin.
1.1.9-teorema. (1.1.17) darajali qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi, bunda .
Ravshanki, (1.1.17) darajali qator da absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi.
Aytaylik, bo’lsin. Unda va da

bo’lganligi uchun, Veyershtrass alomatiga ko’ra (1.1.17) qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
Demak, darajali qatorning yaqinlashish radiusi bo’lsa, yuqorida keltirilgan teoremaga ko’ra bu qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi. Bunda sonni songa har qancha yaqin qilib olish mumkin bo’lsada, qator da tekis yaqinlashmasdan qolishi mumkin.
Funksiyaning Teylor qatori.
Aytaylik, funksiya nuqtaning biror

atrofida istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lsin. Bu hol funksiyaning teylor formulasini yozish imkonini beradi:
,
bunda -qoldiq had.
Modomiki, funksiya da istalgan tartibdagi hosilaga ega ekan, unda
(1.1.18)
darajali qatorni qarash mumkin bo’ladi.
(1.1.18) darajali qatorning koeffisientlari sonlar bo’lib, ular funksiya va uning hosilalarining nuqtadagi qiymatlari orqali ifodalangan.
(1.1.18) darajali qator funksiyaning teylor qatori deyiladi.
Xususan, bo’lganda (1.1.18) darajali qator ushbu

ko’rinishga keladi.
Faraz qilaylik, funksiya biror da istalgan tartibdagi hosilaga ega bo’lib, uning nuqtadagi teylor qatori
(1.1.19)
bo’lsin. Bu qatorning qoldiq hadini deylik:
.
Odatda, bu munosabat o’rinli bo’lsa, funksiya teylor qatoriga yoyilgan deyiladi.