Funksional qatorning tekis yaqinlashuvchiligi.
Aytaylik,
funksional qator to’plamda yaqinlashuvchi (ya’ni qatorning yaqinlashish to’plami ) bo’lib, yig’indisi bo’lsin:
(1.1.7)
bunda, . munosabat
bo’lishini anglatadi.
1.1.7-ta’rif. Agar to’plamda
ya’ni
bo’lsa, funksional qator to’plamda tekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Agar
,
deyilsa, funksional qatorning to’plamda tekis yaqinlashuvchiligini quyidagicha
,
ya’ni
ko’rinishda ta’riflash mumkin bo’ladi.
Shunday qilib
funksional qator, uning qismiy yig’indisi
va yig’indisi uchun
bo’lsa, funksional qator da yaqinlashuvchi,
bo’lsa, funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’ladi.
1.1.3-teoaema. funksional qator da qator yig’indisi funksiyaga tekis yaqinlashishi uchun
,
ya’ni
bo’lishi zarur va yetarli.
1.1.6-misol. Ushbu
funksional qatorning da tekis yaqinlashuvchi bo’lishi isbotlansin.
Berilgan funksional qatorning qismiy yig’indisini hisoblab, so’ng yig’indisini topamiz:
Demak,
.
Unda
bo’lib,
bo’ladi. Keyingi tenglikdan
bo’lishi kelib chiqadi. 1-teoremaga ko’ra berilgan funksional qator da tekis yaqinlashuvchi.
Eslatma. Agar
bo’lsa, funksional qator da tekis yaqinlashuvchi bo’lish shart emas: Masalan,
funksional qatorning da yaqinlashuvchi, yig’indisi
bo’lishini ko’rgan edik. Bu funksional qator uchun
bo’ladi. Demak, funksional qator da tekis yaqinlashuvchi emas.
Faraz qilaylik,
funksional qator to’plamda berilgan bo’lsin.
Do'stlaringiz bilan baham: |