Режа: Асосий таърифлар

1-мисол. _{ } функция _{ } тенгламанинг ечими эканлигини кўрсатинг.
Ечиш. _{ } ва _{ } ифодаларни тенгламага қўйиб, _{ } айниятни хосил қиламиз. Демак, берилган функция кўрсатилган тенгламанинг ечими бўлади.
2-мисол. _{ } муносабат билан аниқланган _{ } функция _{ } дифференциал тенгламанинг ечими эканлигини кўрсатинг.
Ечиш. _{ } белгилаш киритиб, ошкормас функцияни дифференциаллаш формуласи [4] ёрдамида топилган _{ } ифодани тенгламага қўйиб айниятга келамиз. Демак, берилган ошкормас функция тенгламанинг ечими бўлади.
2. Изогонал ва ортогонал траекториялар
Берилган чизиқлар оиласига кирган ҳамма эгри чизиқларни бир хил _{ } бурчак остида кесиб ўтадиган чизиқлар шу чизиқлар оиласининг изогонал траекториялари дейилади. Хусусан, агар _{ } бўлса, у ҳолда изогонал траекториялар ортогонал траекториялар дейилади.
Агар эгри чизиқлар оиласининг тенгламаси _{ } кўринишда бе-рилган бўлса, у ҳолда аввал шу оиланинг дифференциал тенгламасини тузиб олиш керак. Қисқалик учун _{   } белгилаш киритамиз. Берилган чизиқлар оиласининг дифференциал тенгламаси _{ } бўл-син. У ҳолда
_{ } (5)
тенглама изогонал траекторияларнинг дифференциал тенгламасини,
_{ } (6)
тенглама эса ортогонал траекторияларнинг дифференциал тенгламасини ифодалайди. (5) ёки (6) тенгламани интеграллаб, изогонал ёки ортого-нал траекториялар оиласини топамиз.
Агар эгри чизиқлар оиласи _{ },_{ } қутб координаталар системасида _{ } кўринишда берилган бўлиб, _{ } шу оиланинг дифференциал тенгламаси бўлса, у ҳолда изогонал траекторияларни топиш учун
_{ } (7)
тенгламани интеграллаш керак. Ортогонал траекторияларни топиш учун эса
_{ } (8)
тенгламани ечиш керак бўлади.
Берилган чизиқлар оиласини берилган _{ } бурчак остида кесиб ўтадиган траекторияларнинг дифференциал тенгламаларини тузинг.