Rеja: Birinchi tartibli chiziqlar

Tekislikning umumiy tenglamasi.
Biz yuqorida har qanday tekislikka x, y va z koordinatalarga nisbatan birinchi darajali tenglama mos kelishini ko’rsatdik,ya’ni tekislik birinchi tartibli sirtdir.
Teskari da’vo ham to’g’riligini ,ya’ni x,y va z koordinatalarga nisbatan birinchi tartibli har qanday tenglama berilgan koordinatalar sistemasida tekislikni aniqlashni ko’rsatamiz.
Haqiqatdan ham, O x y z to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasi va ixtiyoriy A, B, C, D koeffitsientli birinchi darajali
Ax+By+Cz+D=0. (1)
tenglama berilgan, shu bilan birga, bu koeffitsientlardan kamida bittasi noldan farqli bo’lsin.
Aniqlik uchun deymiz va (1) tenglamani quyidagicha ifodalaymiz:
(2)
(1) va(2) tenglamalar teng kuchli. (1) tenglamani (2) tenglama bilan solishtiradigan bo’lsak, u va demak, unga teng kuchli (2) tenglama ham M₀ (0,0,- ) nuqtadan o’tuvchi va normal vektorga ega bo’lgan tekislik tenglamasi ekanligini ko’ramiz. Shunday qilib, biz x ,y ,z koordinata-larga nisbatan birinchi tartibli har qanday tenglama tekislikni aniqlashini ko’rsatdik.
Tekislikning (1) umumiy tenglamasida ba’zi koeffitsientlar nolga aylanganda tekislik koordinata o’qlariga nisbatan qanday vaziyatni egallashini ko’raylik.
1.D=0 bo’lsa, (1) tenglama
Ax+By+Cz=0
ko’rinishni oladi va uni x=0, y=0, z=0 ya’ni koordinatalar boshining koordinatalari qanoatlantiradi. Demak, tekislik koordinatalar boshidan o’tadi.
2. C=0 bo’lsa, (1) tenglama Ax+By+D=0 ko’rinishni oladi va uning
normal vektori Oz o’qiga perpendikulyar bo’ladi. Demak, tekislik Oz
o’qiga parallel bo’ladi.
Agar B=0 bo’lsa, Ax+Cz+D=0 tekislik Oy o’qiga perpendikulyar
normal vektorga ega bo’ladi. Shuning uchun tekislik Oy o’qiga parallel.
Nihoyat, A=0 bo’lsa, tekislik By+Cz+D=0 tenglamaga ega bo’lib, uning normal vektori Ox o’qiga perpendikulyar. Shuning uchun tekislik Ox o’qiga parallel.
Umuman olganda tekislikning umumiy tenglamasida koordinatalardan biri qatnashmasa tekislik o’sha koordinata o’qiga paralleldir.
3. Endi ikkita koeffitsient nolga teng bo’lgan holni ko’raylik. Masalan, D=0, C=0 bo’lsin. Bu holda Ax+By=0 bo’lib, tekislik koordinatalar boshidan o’tadi (D=0) va Oz o’qiga parallel (C=0), ya’ni u Oz o’qidan o’tuvchi tekislik bo’ladi.
D=0, B=0 bo’lsa Ax+Cz=0 tenglamaga egamiz va u koordinata boshidan
o’tadigan (D=0), Oy o’qiga parallel (B=0) tekislikni aniqlaydi, ya’ni Oy o’qidan o’tadigan tekislik bo’ladi.
va nihoyat, D=0, A=0 bo’lsa, By+Cz=0 bo’ladi va bu tenglama koordinata boshidan o’tadigan (D=0), Ox o’qiga parallel (A=0) tekislikni aniqlaydi, ya’ni u
Ox o’qidan o’tadigan tekislik bo’ladi.
4. Agar ikkita o’zgaruvchi oldidagi koeffitsient nolga teng bo’lsa, masalan, A=0, B=0 bo’lsa, normal vektori , Oz o’qiga parallel va tenglamasi Cz+D=0 bo’lgan tekislik hosil bo’ladi. Demak, tekislik Oz o’qiga perpendikulyar va Oxy tekisligiga parallel bo’ladi. Yuqoridagidek By+D=0 tenglama Oxz tekisligiga parallel tekislikni, Ax+D=0
tenglama esa Oyz tekisligiga parallel tekislikni aniqlaydi.
5. Nihoyat uchta koeffitsient nolga teng bo’lsa, masalan, B=0, C=0, D=0 bo’lsa, Ax=0 yoki x=0 tenglama koordinatalar boshidan o’tadigan (D=0) va Oyz tekislikka parallel tekislikni aniqlaydi, ya’ni u Oyz koordinata tekisligining o’zi bo’ladi. Xuddi shunday By=0 yoki y=0 tenglama Oxz koordinata tekisligini, Cz=0 yoki z=0 tenglama esa Oxy tekisligini aniqlaydi.
Ravshanki, tekislikning umumiy tenglamasida barcha koeffitsientlar nolga teng bo’lmaganda tekislik barcha koordinata o’qlarini kesib o’tadi. Tekislikni yasash uchun bu nuqtalarni topish lozim. Buning uchun ikkita koordinataga nolga teng qiymatlar berish va tekislik tenglamasidan uchinchi koordinatani topish kifoya.
1-misol. 3x+2y+z-6=0 tekislikni yasang.
Yechish. Tekislikning koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalarini topamiz. Tekislikning Ox o’qi bilan kesishish nuqtasini topish uchun tekislik tenglamasida y=0, z=0 deyish lozim (chunki, Ox o’qining istalgan nuqtasi uchun y=z=0 ga egamiz), 3x-6=0 ni olamiz, ya’ni x=2. Demak, tekislik Ox o’qini M₁(2;0;0) nuqtada kesib o’tadi. Shunga o’xshash, tekislik tenglamasida x=0 ga y=0 deb z=6 ni hosil qilamiz. Demak, tekislik Oz o’qini M₂(0;0;6) nuqtada kesib o’tadi va nihoyat, tekislik tenglamasida
33-shakl
x=0, z=0 deb 2y-6=0 ni olamiz yoki y=3. Shunday qilib, uchinchi nuqta M₃(0;3;0) ni topdik, u Oy o’qiga va berilgan tekislikka tegishli. Bu M₁, M₂ va M₃ nuqtalar bo’yicha tekislikni yasaymiz (33-shakl).