Reja chiziqli tenglamalar

Jardono-Gauss modifikasiyalashgan usuli. Ma’lumki, Gauss usuli bilan chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda tenglamalar sistemasi uchburchak ko’rinishdagi sistemaga keltiriladi. Noma’lumlarning qiymati bevosita topiladigan, ya’ni teskari qadam bilan noma’lumlar qiymatini ketma-ket topishga hojat qolmaydigan usulni qaraymiz. Bu usulni ushbu chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan ifodalaymiz.
7-misol.

 ^{x1  2x2  x3  8,}

x


^ ₂  3x₃  x₄  15,
^4x  x  x  11,
_ 1 3 4
^_ x₁  x₂  5x₄  23
tenglamalar sistemasi yechimini toping.

Yechish. 1-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib sistemaning qolgan tenglamalaridan
^x1 noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 1- tenglamani ketma-ket (-4), (-1) ga
ko’paytirib mos ravishda 3,4-tenglamalarga hadma-had qo’shib ushbu sistemani hosil qilamiz:
 ^{x1  2x2  x3  8,}


^ 0  x
_ 2
 3x₃

• 
  x₄
  

 15,

_0  8x₂  3x₃  x₄  21,
^_ 0  x₂  x₃  5x₄  15.
Endi 2–tenglamani o’zgarishsiz qoldirib, boshqa tenglamalardan
^х2 noma’lumni

yo’qotamiz, buning uchun 2 tenglamani (-2), 8,1 larga ketma-ket ko’paytirib, mos ravishda 1,3,4 – tenglamalarga hadma –had qo’shamiz va ushbuni hosil qilamiz:
^{x1  0  5x2  2х3  22,}



2
^ 0  x  3x  x  15,
3 4



3
^ 0  0  21x  9х  99,
4
_^ 0  0  2х₃  6x₄  30.

Endigi qadamda 3-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan ^х3

noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 3- tenglamani ketma-ket (5/21), (-3/21) (- 2/21) larga ko’paytirib mos ravishda 1,2,4 – tenglamalarga hadma-had qo’shsak, ushbu tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi:

^x  0  0  ³ х


_ 33 _,

^{ 1} 21 ⁴ 21
^ 6 18
_0  x₂  0  ₂₁ x₄  ₂₁,



3
^0  0  21x  9х  99,
4
_^ 0  0  0  х₄  4.

Oxirgi qadamda 4-tenglamani o’zgarishsiz qoldirib boshqa tenglamalardan, x₄ noma’lumni yo’qotamiz, buning uchun 4 – tenglamani ketma-ket

(
21
), (
3
21
), (
6
9)
larga ko’paytirib, mos ravishda 1,2,3- tenglamalarga hadma-had

qo’shamiz natijada, ushbuga ega bo’lamiz:

 ^{x1  0  0  0  1,}


^ 0  x
_ 2
 0  0  2,

_0  0  21x₃  0  63,
_^ 0  0  0  x₄  4.

Oxirgi sistemadan =1 , x₂=2, x₃=3, x₄=4 yagona yechimni olamiz. Yuqoridagi tenglamalar sistemasini yechishda x₁, x₂,x₃, x₄ noma’lumlarni ketma-ket yo’qotdik, hisoblashlarni ixchamlashtirish uchun har safar koeffisiyenti 1 ga teng bo’lgan noma’lumni chiqarish ham mumkin edi.
U usulda ham Gauss usulining xususiyatlari o’z kuchida qoladi, ya’ni tenglamalar sistemasi aniq bo’lsa, bu usul yagona yechimga, tenglamalar sistemasi birgilikda lekin aniq bo’lmasa biror qadamda 0=0 tenglik hosil bo’lib cheksiz ko’p yechimga olib keladi. Tenglamalar sistemasi birgalikda bo’lmasa, biror qadamda tengliklarning birining chap tomonida 0 o’ng tomonida 0 dan farqli son bo’lib, sistema yechimga ega bo’lmaydi.

Mavzuni mustahkamlash uchun nazorat savollari:

1. 
   Kroneker-Kapelli teoremasining sharti nimadan iborat?
   
2. 
   Qanday matrisaga kengaytirilgan matrisa deyiladi?
   
3. 
   Bir jinsli sistema deb qanday sistemaga aytiladi?
   
4. 
   Bir jinsli sistema qanday holda birgalikda?
   
5. 
   Bir jinsli sistema no’ldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun qanday shart bajarilishi kerak?
   
6. 
   Bosh (bazis) o’zgaruvchilar nima?
   
7. 
   Gauss usulining mohiyati nima?
   
8. 
   Noma’lumlarni ketma-ket yo’qotishning 1-qadami nimadan iborat?
   
9. 
   Ikkinchi qadam qanday? 10.Teskari qadam nima?
   

11. 
    Sistema birgalikda va aniq degani nima?
    
12. 
    Sistema birgalikda va aniqmas deganda nima tushuniladi? 13.Gauss usulining Jordan modifikasiyasi nimadan iborat?
    

14.Tenglamalar sistemasining matrisali yozuvi qanday bo’ladi? 15.Tenglamalar sistemasi matrisalar yordamida qanday yechiladi? 16.Teskari matrisa qanday topiladi?
17.Qanday tenglamalar sistemasiga birgalikda deyiladi?