Reja chiziqli tenglamalar

^{9x1  11x2  4x3  2070} .

Bu masalaning matematik modeli uch noma’lumli uchta chiziqli tenglamalar sistemasidan iborat bo’ldi. Bu masala tenglamalar sistemasining yechimini topish bilan yechiladi. Bunday tenglamalar sistemasini yechishni umumiy holda qaraymiz.

2. Chiziqli tenglamalar sistemasini Kramer usuli bilan yechish

Chiziqli tenglamalar sistemasining yechimini topishni oldin ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi uchun qaraymiz. Ushbu ikki noma’lumli ikkita chiziqli tenglamalar sistemasi


^{a11x  a12 y  b1}
_a₂₁x  a₂₂ y  b₂

dan, birinchi tenglamani
^a22
ga, ikkinchi tenglamani
 a₁₂
ga hadma-had

ko’paytiramiz va hosil bo’lgan tenglamalarni qo’shamiz, natijada

^a11^a22 ^{ a}21^a12 ^{x  b}1^a22 ^{ b}2^a12
(1)

tenglama hosil bo’ladi. Xuddi shunga o’xshash, 1-tenglamani

 a₂₁

ga, 2-

tenglamani
^a11
ga hadma-had ko’paytirib, hosil bo’lgan tenglamalarni qo’shib

ushbuni hosil qilamiz:

^a11^a22 ^{ a}21^a12 ^{y  b}2^a11 ^{ b}1^a21
(2)

a a

• 
  a a
  

_{ } ^a11
^a12 _,
b a  b a
_ b₁
^a12 _,

11 22
21 12
^a21
^a22
1 22
2 12
^b2 ^a22

b a  b a
_ ^a11 ^b1

2 11
1 21
^a21 ^b2

bo’lgani uchun, quyidagi belgilashlarni kiritib

_{ } ^a11
^a21
^a12 _,
^a22
  ^b1 b₂
^a12 _,
^a22
_{ } ^a11 ^b1

2
^a21 ^b2

1. 
   
   1
   va (2) tengliklarni
   

x  ₁ ,

y  ₂

ko’rinishda yozish mumkin. Bundan
  0
bo’lsa,

x  ^1 , y  ^2
 
bo’ladi, yoki determinantlar orqali yozsak


x  , y  .

Bu formulalarga Kramer formulalari deyiladi, bunda ^1
yordamchi determinant

 determinantning birinchi ustunini ozod hadlar bilan,
^2 da esa ikkinchi ustun

^{ozod hadlar bilan almashtiriladi.} 
determinanti deyiladi.
determinantga tenglamalar sistemasining

Shunday qilib, berilgan chiziqli tenglamalar sistemasining determinanti 0 dan farqli bo’lsa, sistema yagona yechimga ega bo’ladi.
Endi sistemaning determinanti 0 ga teng, ya’ni

  a₁₁a₂₂  a₂₁a₁₂  0


yoki
^a11^a22 ^{ a}21^a12

bo’lsin. Bu holda 1-tenglamaning noma’lumlari oldidagi koeffisiyentlari 2- tenglamaning noma’lumlari oldidagi koeffisiyentlariga proporsionaldir.

Haqiqatan, koeffisiyentlardan biri, masalan
^a11
noldan farqli bo’lsin deb

^a22 _{ }
^a11
bilan belgilasak, bundan
^a21
 a₁₁
bo’ladi. U holda

^a11^a22
^{ a}21^a12
tenglikdan

^a11^a22
 a₁₁a₁₂
bo’lib,
^a22
 a₁₂
kelib chiqadi. Bularni hisobga olib,

berilgan sistemani
^{a11x  a12 y  b1}
(3)

^(a x  a y)  b
 11 12 2

ko’rinishda yozish mumkin. bunda ikkita xususiy hol bo’lishi mumkin:

1. 
   ikkala ^1
   

va ^2
determinantlar 0 ga teng, ya’ni

₁  b₁a₂₂  b₂a₁₂  0,
₂  b₂a₁₁  b₁a₂₁  0
bundan ^{b2
 b1} , chunki
^a22
^{ a12} .

Bu holda
^a21,
a₂₂ , b₂
sonlar
^a11,
a₁₂ , b₁
sonlarga proporsional bo’lib, berilgan

tenglamalar sistemasi ushbu ko’rinishda bo’ladi:
^{a11x  a12 y  b1
}(a x  a y)  b
 11 12 1

Shunday qilib, sistemaning ikkinchi tenglamasi, birinchi tenglamasidan

^{uning ikkala qismini} 
ga ko’paytirish bilan hosil qilinadi, ya’ni u 1-

tenglamaning natijasidir. Bu holda berilgan sistema cheksiz ko’p yechimlar

to’plamiga ega bo’ladi. Masalan,
y ga ixtiyoriy qiymatlar berib,
x ning tegishli

qiymatini
_{x } b₁  a₁₂ y
^a11

tenglikdan topamiz.

2) ^1 va ^2

determinantlardan hyech bo’lmaganda bittasi 0 dan farqli, masalan,

demak
 ₂  b₂ a₁₁  b₁a₂₁  0

^{b2  b1}.
bo’lsin. U holda
^b2 ^a11 ^{ b}1^a21
bo’ladi,

bu holda (3) sistemadan ma’lum bo’ladiki,

a₁₁ x  a₁₂ y  b₂

tenglama

birinchi
a₁₁ x  a₁₂ y  b₁
tenglamaga qarama-qarshidir. Demak, berilgan sistema

yechimga ega emas, ya’ni birgalikda emas.
Endi uch noma’lumli uchta tenglamalar sistemasini qaraymiz:
^{a11x1  a12x2  a13x3  b1} 

a x  a
x  a
x  b ^
(4)

21 1

22 2

23 3 2 ^

a x  a
x  a
x  b ^

31 1
32 2
^{33 3 3} 

tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Bu sistema noma’lumlari koeffisiyentlaridan ushbu determinantni tuzamiz:
^a11^a12^a13
^{  a}21^a22^a23
^a31^a32^a33

bunga (4) sistemaning determinanti yoki aniqlovchisi deyiladi. sistema yagona
  0 ^{bo’lsa, (4)}

x  ^x1 , x
1 _ 2
 ^x2 , x
_ 3
_ x₃


(5)

yechimga ega bo’ladi, bunda
^b1^a12^a13
^a11^b1^a13
^a11^a12^b1

x₁  b₂a₂₂a₂₃ , x₂  a₂₁b₂a₂₃ , x₃  a₂₁a₂₂b₂

^b3^a32^a33
^a31^b3^a33
^a31^a32^b3

(5) formulaga ham ikki noma’lumli ikkita tenglamalar sistemasidagidek Kramer

formulalari deyiladi. Kramer formulalari n
sistemasi uchun ham umumlashtiriladi.
noma’lumli
n ta tenglamalar

3. Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisalar yordamida yechish

Endi matrisalar yordamida chiziqli tenglamalar sistemasini yechishga o’tamiz.




^{a11x1  a12x2 …  a1n xn  b1} 

^a21^x1
 a₂₂ x₂
…  a_2n x_{n 2 }

 b

(1)

………………………………_
a_n1x₁  a_{n 2} x₂ …  a_nn x_n  b_n ^_
n noma’lumli, n ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin.

^{ a}11
^a12 ^a1n ^
^b1 
 ^x1 

     

_{A } ^{ a}21 ^a22 ^a2n ^
^b₂ 
 ^x₂ 

^       ^,
B  _…,
X  _…

     

n1

n2

nn 



n 





n 
a a a b x

belgilashlarni kiritamiz. Endi (1) sistemani matrisalarni ko’paytirish qoidasidan foydalanib,

AX  B ⁽²⁾

ko’rinishda yozish mumkin.
det A  0
^{bo’lsa, teskari matrisa} A^1
mavjud va

A^1 AX
 A^1B
^{hosil bo’ladi. Shunday qilib, noma’lum} X
matrisa
_A1 _B

matrisaga teng bo’ladi, ya’ni


X ^{= A1B .}

Bu (13) tenglamalar sistemasini yechishning matrisaviy yozuvini bildiradi. 1-misol. Matrisalar yordamida ushbu tenglamalar sistemasini yeching:
^{x1  x2  x3  4,
}x  2x  4x  4,
^ 1 2 3 _.
^x  3x  9x  2
 ^{1 2 3}
Yechish. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

^{1 1 1} 

 ^x1 

 ⁴

     
A  _1 2 4_; X  _ x_{2 }; B  _ 4_.

^1 3 9 ^
 _x 
 ₂

   ³   
Bu matrisalar yordamida berilgan tenglamalar sistemasini
AX  B ^{(3)
ko’rinishda yozamiz. Endi} A ^{matrisaning determinantini hisoblaymiz.}

1
  1
1
1 1
^{2 4  1 2  9 1 4 11 311 2 111 9 1 4  3  2} .
3 9

A ^{matrisaning determinanti 0 dan farqli bo’lganligi uchun, unga teskari yagona}

_A1
matrisa mavjud va tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo’ladi. Endi

_A1
^{teskari matrisani topish uchun} 
determinant elementlarining hamma

algebraik to’ldiruvchilarini hisoblaymiz:

2
A₁₁  ₃
⁴  18 12  6,
9
^A12
 ¹
1
⁴  5,
9
1
A₁₃  ₁
²  1
3

^A21
 ¹
3
¹  6,
9
1
A₂₂  ₁
⁴  8,
9


^A23
 ¹
1
¹  2
3

1
A₃₁  ₂
¹  2,
4


^A32
 ¹
1
¹  3,
4
1
A₃₃  ₁
¹  1.
2

Teskari
A^{1 matrisani topish formulasiga asosan,}

 ^{6  6 2}  ^{3  3 1} 

A^1  ^{1 } 5 8  3 ^{ } 2,5 4 1,5^
₂   ^ ^ 

1

1








^  2 ^{ } 0,5 1 0,5 ^

3. 
   tenglikning ikki tomonini chapdan
   

_A1
ga ko’paytirsak,
A^1 AX
 A^1B

yoki
X  A^1B ^{bo’lib, ya’ni}

 ^{3  3 1}   ⁴ ^{3 4  (3)  4 1 2}   ² 

       
X  _ 2,5 4 1,5_ _ 4_  _ 2,5 4  4  4  (1,5)  2_  _ 3 _

^ 0,5 1
0,5 ^
 ₂
^ 0,5 4 1 4  0,5 2
 _1

       

tenglik hosil bo’ladi.

 ^x₁   ² 
   

Shunday kilib,
X  _ x_{2 }  _ 3 _
yoki
х₁  2 , х₂
 3 , х₃
^{ 1}.

 _x  _1
 ³   

(Topilgan yechimlarni tenglamalar sistemasiga bevosita qo’yib, yechimning to’g’riligini tekshirib ko’rish mumkin).

4.