Reja chiziqli tenglamalar

Kroneker-Kapelli teoremasi.Ushbu





^{a11x1  a12x2 …  a1n xn  b1} 

^a21^x1
 a₂₂ x₂
…  a_2n x_n
 b_{2 }

(1)

……………………………… _
a_m1x₁  a_m2 x₂ …  a_mn x_n  b_m ^_

umumiy ko’rinishdagi, yani berilgan bo’lsin.
n ta nomalumli m
ta chiziqli tenglamalar sistemasi

Berilgan sistema noma’lumlari koeffisiyentlaridan A matrisani hamda bu matrisaga ozod hadlardan tuzilgan ustunni birlashtirib, ikkinchi V matrisani tuzamiz, ya’ni bular ushbu ko’rinishshda bo’ladi.


^{ a}11 _{A } ^{ a}21
^a12 ^a1n ^a22 ^a2n


^ va
^{ a}11 _{B } ^{ a}21
^a12 ^a1n ^a22 ^a2n
^b 
1 _
b_{2 }


^        ^{ }           ^

 

m1

m 2



mn 
a a a
 

m1

m2

mn



m 
a a a b

А ^{matrisaga (1) sistemaning matrisasi,} B ^{matrisaga sistemaning kengaytirilgan}
matrisasi deyiladi. Quyidagi teorema o’rinli.
1- teorema. (Kroneker-Kapelli teoremasi). Chiziqli tenglamalar
^{sistemasining birgalikda bo’lishi uchun sistema matrisasi} А ^{ning rangi sistema
kengaytirilgan} B ^{matrisasining rangiga teng bo’lishi zarur va yetarlidir.}

Isbot. Zarurligi. (1) sistema birgalikda bo’lsin.
k₁ , k₂ ,…, k_s
uning

yechimlaridan biri bo’lsin. Bu sonlarni sistemadagi noma’lumlar o’rniga qo’yib,
^{s ta ayniyat hosil qilamiz. Bu ayniyatlar} B ^{matrisaning oxirgi ustuni qolgan}
barcha ustunlarining mos ravishda koeffisiyetlar bilan ko’paytmasidan olingan
^{yig’indisi ekanligini ko’rsatadi.} B ^{matrisaning har qanday boshqa ustuni} A
matrisaga ham kiradi va shuning uchun u matrisaning barcha ustunlari orqali

chiziqli ifodalanadi. Aksincha,

1. 
   ^{matrisaning har qanday ustuni}
   
2. 
   ^matrisani
   

ham ustuni bo’ladi, ya’ni bu matrisaning ustunlari orqali chiziqli ifodalanadi.

Bundan
A ^va B
matrisalarning ustunlari sistemasi o’zaro ekvivalent ekanligi

kelib chiqadi, shuning uchun bu matrisalarning rangi bir xil bo’ladi, ya’ni
rA  rB kelib chiqadi.

Yetarliligi.
A ^va B
^{matrisalar bir xil rangga ega bo’lsin. Bundan} A

^{matrisa ustunlarining istalgan maksimal chiziqli erkli sistemasi} B ^{matrisada ham
maksimal chiziqli erkli sistema bo’lib qolishligi kelib chiqadi. Shunda qilib} A
^{matrisa ustunlari sistemasi orqali} B ^{matrisaning oxirgi ustuni chiziqli}

ifodalanadi. Demak, shunday
k₁ , k₂ ,…, k_s
sonlar majmui mavjud bo’ladiki, A

matrisaning bu sonlar bilan ko’paytirishdan olingan ustunlari yig’indisi ozod

hadlardan iborat ustunga teng, ya’ni
k₁ , k₂ ,…, k_s
sonlar (1) sistemaning yechimi

bo’ladi, shunday qilib,
A ^va B
matrisalar ranglarining bir xilda bo’lishidan (1)

sistemaning birgalikda bo’lishi kelib chiqadi. Teorema to’liq isbotlandi.
Kroneker-Kapelli teoremasi yechim mavjud ekanligini tasdiqlaydi, lekin bu sistemaning barcha yechimlarini amalda topish uchun usulni bermaydi. Endi, ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasini yechishning quyidagi qoidasini keltiramiz.

A matrisaning rangi B
matrisaning rangiga teng bo’lib,
rA  rB  k

^{bo’lsin. Bunda} k
son
A ^{matrisaning chiziqli erkli satrlarining maksimal soniga}

^{teng bo’lib,} k ^{noma’lumlar soniga teng bo’lsa, u holda sistema tenglamalari soni}

noma’lumlari soniga teng va uning determinanti noldan farqli bo’ladi, bunday sistemaning yechimi yagona bo’lib uni Kramer qoidasi bo’yicha topish mumkin bo’ladi.

Endi matrisalarning rangi
k ^{noma’lumlar sonidan kichik, ya’ni}
k  n

^{bo’lsin. Bu holda} k ^{- tartibli minor noldan farqli bo’ladi. Sistema tenglamalarining}

har qaysisida
^xk 1 ^,
x_{k 2} , …, x_n
noma’lumli hadlarini tenglamalarning o’ng

tomoniga o’tkazamiz va bu noma’lumlar uchun biror
c_{k 1} , c_{k 2} ,…, c_n

^{qiymatlari majmuini tanlab olib} k
noma’lumli
k ^{ta tenglamalar sistemasini hosil}

qilamiz. Hosil bo’lgan sistemaga Kramer qoidasini qo’llash mumkin va yagona

c₁ , c₂ ,…, c_k
yechim majmui mavjud bo’ladi. Sistema tenglamalarining o’ng

tomoniga o’tkazilgan noma’lumlarni ozod noma’lumlar deb ataymiz. Chap tomondagi nomalumlar bosh(bazis) o’zgaruvchilar, Ozod noma’lumlar uchun

c_{k 1} , c_{k 2} ,…, c_n
sonlarni ixtiyoriy tanlab olishiiz mumkin bo’lganligi uchun

hosil bo’lgan sistemaning cheksiz ko’p turlicha yechimlari shu yo’l bilan hosil qilinadi. Shunday qilib, bu holda cheksiz ko’p yechimlar to’plamiga ega bo’lamiz.

x₁ ,
x₂ , …, x_k
noma’lumlarning
^xk 1 ^,
x_{k 2} , …, x_n
ozod noma’lumlar

qatnashgan yechimiga umumiy yechim deb ataladi, chunki boshqa cheksiz ko’p

yechimlar
^xk 1 ^,
x_{k 2} , …, x_n
ozod noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar majmuini

berish bilan olinadi.
Tenglamalar sistemasini yechishga bir necha misollar qaraymiz.

1. 
   misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
   

^{10x1  x2  2x3  x4  6,
} 4x  x  4x  2x  2,

^ 1
^2x
2

• 
  3x
  

3

• 
  6x
  

4

• 
  5x
  

 1.

 1 2 3 4

Yechish. Sistema koeffisiyentlaridan matrisa tuzamiz.

^{10 1}

A  _ 4 1
^{2 1}


4  2 ^

2

5




^  3  6 ^

Bu matrisaning rangi 2 ga teng, chunki

10
4

bo’lib,
^1  10  4  14  0

1

10 1
4 1
2  3

bo’ladi. Kengaytirilgan matrisa

2
4  0,
 6
10 1
4 1
2  3
1
 2  0
5

^{10 1}


2

2




B  _ 4 1
2 1
4  2
¹²

2 _

ning rangi 3 ga teng, chunki
^  3  6 5 ^

10 1
4 1
2  3
6
2  14  0
1

rA  2,
rB  3

bo’lib,
rA  rB

bo’ladi, demak isbotlangan teoremaga asosan

sistema birgalikda emas.

2. 
   misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
   

 ^{3x1  2x2  4,}


^{ x}1
 4x₂
 1,

^7x 10x
 12.

 1 2

Yechish. Sistema koeffisiyentlaridan tuzilgan matrisa

³

A  _1

7


² 


 4 ^


10^

bo’lib,
rA  2 , chunki ³
1
²  14  0 , lekin
 4

3. 
   tartibli minori yo’q. Kengaytirilgan matrisaning rangi ham 2 ga teng, chunki
   

3 2
1  4
7 10
4
^{1  144  40 14 112  24  30  0} .
12

Birinchi ikkita tenglamaning chap qismlari chiziqli erkli, bu ikkita tenglamalar sistemasini yechib, noma’lumlar uchun ushbu qiymatlarni hosil qilamiz:

^{3x1  2x2  4,
}x  4x  1.
 1 2

  ³
1
²  14  0,
 4
4
₁  _1
²  14,
 4
  ³
2 ₁
⁴  7
1

x₁  1,
x  ¹
2 ₂

Bu yechim 3-tenglamani ham qanoatlantiradi.

3. 
   misol. Ushbu tenglamalar sistemasini yeching.
   

^{x1  5x2  4x3  3x4  1,}


_ 2x₁

• 
  x₂
  

 2x₃
 x₄ ,

^5x  3x  8x  x
 1.

 1 2 3 4

Yechish. Sistema matrisasining rangi
^{rA  2} , chunki

1	5	4	1	5		3
2	1	2 	2	1		1  0
5	3	8	5	3		1
1	5	1	1	4	1	1	3	1		4		3	1
2 1 0  5 3 1			2 5	2 0 8 1		 2 5	1 0 1 1			2 8	1 0 1 1

 0
bo’lganligini, ya’ni kengaytirilgan matrisaning barcha 3-tartibli minorlari 0 ga
teng bo’lganligi uchun, uning ham rangi rB  2 . Shunday qilib, sistema
birgalikda va rA  rB  k  2  4 noma’lumlar sonidan kichik, bu holda
birinchi va uchinchi tenglamalar sistemasini olaylik, chunki


^{1 5}  3 10  7  0;
5 3
^{x1  5x2  4x3  3x4  1,
} 5x  3x  8x  x  1
 1 2 3 4
bundan

^{x1  5x2  1 4x3  3x4,}

^ 5x  3x  1 8x  x
 1 2 3 4

bo’lib, tenglamalar sistemasini
^х1 , ^х2
asosiy noma’lumlarga nisbatan yechsak:

1 4x₃  3x₄ 5
_{x } 1 8x₃  x₄ 3

 ²  4x  ⁴ x ,

¹  7
₇ 3 ₇ 4

1
x  ⁵
1 4x₃  3x₄
1 8x₃  x<sub>4


</sub> 4 _ 12 _x

• 
  2x
  

2
bo’ladi. Ozod noma’lumlarni
 7
x₃  С₁,
7 7 ³
x₄  C₂
4
deb

x  ²  4C  ⁴ C ,
1 ₇ 1 ₇ 2
x  ⁴  ¹² C  2C
2 _{7 7} 1 2

umumiy yechimni olamiz. ^C1
va ^C2
larga xar xil qiymatlar berib, masalan,

C  2, C  3 bo’lganda x  6, x
 ²² , x  2, x  3, ^{ya’ni } 6, ²² ,2,3^


yechimni,

1 2 1
2 ₇ 3 4 ^{ }

С₁  0, С₂

 3

bo’lganda
х   ¹⁰ , х   ³⁸ , х  0, х  3,
ya’ni

7

 
1 ₇ 2 ₇ 3 4

^ ¹⁰ , ³⁸ , 0,3^


va hokazo cheksiz ko’p yechimlarni olish mumkin.

7

7
 
 

5.