Reja ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari

1-TEOREMA(Ferma teoremasi): Agar z=f(x,y) funksiya M0(x0,y0) nuqtada lokal ekstrеmumga erishsa va bu nuqtada uning ikkala xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, unda ular nolga tеng bo‘ladi, ya’ni (2) tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Isbot: z=f(x,y) funksiyada y=y0 deb olamiz va bunda hosil bo‘ladigan bir o‘zgaruvchili h(x)= f(x,y0) funksiyani qaraymiz. Teorema shartiga ko‘ra bu funksiya x=x0 nuqtada lokal ekstremumga ega va uning hosilasi h’ (x)= f_x’ (x,y₀) mavjud. Unda, bir o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oldin isbotlangan Ferma teoremasiga asosan (VII bob,§5), h’ (x₀)= f_x’ (x₀ ,y₀)=0 ekanligi kelib chiqadi. Xuddi shunday tarzda f_y’ (x₀ ,y₀)=0 tenglik o‘rinli ekanligi ko‘rsatiladi va teoremaning isboti yakunlanadi.
Bu teorema ekstremumning zaruriy shartini ifodalaydi va undan ushbu natija kelib chiqadi.
NATIJA: Agar z=f(x,y) funksiya M0(x0,y0) nuqtada lokal ekstrеmumga erishsa va differensiallanuvchi bo‘lsa, unda bu nuqtada uning differensiali df(x0,y0)=0 va gradienti gradf(x0,y0)=0 bo‘ladi. Bu tasdiq bevosita (2) tengliklardan va differensial, gradient ta’riflaridan kelib
chiqadi. Masalan, yuqorida ko‘rilgan f(x,y)=4–x²–y² funksiya uchun haqiqatan ham u lokal maksimumga erishadigan M0(0,0) nuqtada
f_x’ (0,0)=2x f_y’ (0,0)=-2y
tengliklar bajariladi. (2) tengliklar lokal ekstremumning faqat zaruriy shartini ifodalab, lokal ekstremum bo‘lishi uchun yetarli emas.
Masalan, f(x,y)=x² –y² differensiallanuvchi funksiya grafigi 88-rasmda ko‘rsatilgan sirtdan iborat.

Bu funksiya uchun O(0,0) nuqtada (2) tengliklar bajariladi, ammo bu nuqtada funksiya lokal ekstremumga ega emas. Haqiqatan ham bu holda to‘la orttirma
∆f= f(0+Δx , 0+Δy )-f(0,0)= f(Δx ,Δy )= Δx² -Δy²
ko‘rinishda bo‘lib, Δx>Δy bo‘lganda musbat, Δx<Δy holda esa manfiy qiymat qabul etadi. Demak, O(0,0) nuqtaning ixtiyoriy atrofida Δf(0, 0) to‘la orttirma o‘z ishorasini o‘zgartiradi va shu sababli bu nuqtada lokal ekstremum mavjud emas.
Bu funksiyaning grafigi bo‘lmish sirt quyidagi chizmada ko‘rsatilgan va unda
O(0,0) nuqta egar nuqta deb ataladi. Sirtlar uchun egar nuqta egri chiziqlar uchun burilish nuqtasiga o‘xshash xususiyatga ega bo‘ladi.