Reja ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari

5-TA’RIF: z=f(x,y) funksiyaning argumentlari qanoatlantiradigan (4) tenglama bog‘lanish tenglamasi deb ataladi.
6-TA’RIF: Koordinatalari (4) bog‘lanish tenglamasini qanoatlantiruvchi M0(x0,y0) nuqtaning biror atrofidagi koordinatalari (4) shartni qanoatlantiruvchi barcha M(x,y) nuqtalar uchun z=f(x,y) funksiya f(x0,y0)≥f(x,y) [f(x0,y0)≤f(x,y)] tengsizlikni qanoatlantirsa, unda bu funksiya M0(x0,y0) nuqtada shartli maksimumga (mimnimumga) ega deyiladi va ular birgalikda shartli ekstrеmumlar deb ataladi.
Umumiy holda ham funksiyaning shartli ekstremumini yuqorida ko‘rilgan xususiy masaladagi singari usulda quyidagicha topish mumkin:
1) dastlab (4) bog‘lanish tenglamasidan y=ψ(x) funksiyani topamiz ;
2) so‘ngra ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyadan, y=ψ(x) ekanligini hisobga olib, bir o‘zgaruvchili g(x)=f(x,ψ(x)) funksiyaga o‘tamiz;
3) Hosil bo‘lgan g(x) funksiyani bizga ma’lum usulda (VIII bob,§5) ekstrеmumga tekshiramiz.

Ammo bu usul har doim ham qulay emas, jumladan y=ψ(x) funksiyani topish masalasi murakkab bo‘lishi mumkin. Shu sababli bu masalani Lagranj tomonidan taklif etilgan usulda yechamiz. Buning uchun berilgan z=f(x,y) funksiya va (4) bog‘lanish tenglamasi bo‘yicha

L(x,y,λ)= f(x,y)– λ φ(x,y) (5)
uch o‘zgaruvchili funksiyani hosil qilamiz. Bunda L(x,y,λ)–Lagranj funksiyasi, λ–Lagranj ko‘paytuvchisi deb ataladi. Bu holda quyidagi teorema o‘rinli ekanligini isbotlash mumkin.
3. Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning global ekstremumlari. Berilgan z=f(x,y) funksiya biror yopiq va chegaralangan D sohada aniqlangan va uzluksiz , bu sohaning ichki nuqtalarida chekli xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Unda bu funksiya, Veyershtrass teoremasiga asosan (§1, 4- teorema), D sohada o‘zining eng katta maxf (global maksimum) va eng kichik minf (global minimum) qiymatlariga erishadi. Bu qiymatlar, funksiyani lokal ekstremumga tekshirishdan foydalanilib, quyidagi tartibda topiladi:
Funksiyaning f_x’ (x,y), f_y’ (x,y) xususiy hosilalari hisoblanadi ; ) , (, ) , (yxf yxf yx  
Xususiy hosilalar nolga tenglashtirilib, kritik nuqtalar topiladi ;
Topilgan kritik nuqtalardan faqat D soha ichida yotuvchilari qaralib, ularda berilgan funksiyaning qiymatlari hisoblanadi ;
D soha chegarasini ifodalovchi chiziqning y=φ(x), x[a,b], tenglamasidan foydalanilib, chegarada ikki o‘zgaruvchili f(x,y) funksiyani g(x)= f(x, φ(x)) bir o‘zgaruvchili funksiyaga keltiriladi va uning [a,b] kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topiladi (VIII bob,§5); 
Funksiyaning oldingi ikki qadamda hisoblangan barcha qiymatlarini taqqoslab, uning D sohadagi eng katta maxf va eng kichik minf qiymatlarini, ya’ni global ekstremumlarini topamiz.

Misol sifatida, f(x,y)=x²+2y²–x–3y+5 funksiyaning x=1, y=1 va x+y=1 to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan uchburchakdan iborat D sohadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topamiz

1) Berilgan funksiyaning kritik nuqtalarini topamiz:

Demak, funksiyaning bitta M0(1/2, 3/4) kritik nuqtasi mavjud. Bu kritik nuqta qaralayotgan D soha ichida joylashgan va shu sababli uni hisobga olib, bu nuqtada f(1/2, 3/4)=29/8 ekanligini aniqlaymiz.
2) Berilgan funksiyani AC chegarada qaraymiz. Unda x=1 bo‘lgani uchun funksiyamiz