Reja ikki o‘zgaruvchili funksiyaning lokal ekstremumlari

4-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari mavjud bo‘lsa, unda (2) tengliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar bu funksiyaning kritik yoki statsionar nuqtalari deb ataladi.
Ferma teoremasidan funksiya lokal ekstremumlariga kritik nuqtalarida erishishi mumkinligi kelib chiqadi. Shu sababli funksiyani ekstremumga tekshirish uchun birinchi navbatda uning kritik nuqtalarini topish kerak. Agar z=f(x,y) funksiya uchun M0(x0,y0) kritik nuqta bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada yoki lokal maksimumga, yoki lokal minimumga ega yoki umuman lokal ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin. Shu sababli M0(x0,y0) kritik nuqta bu xususiyatlardan qaysi biriga ega ekanligini aniqlash masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala ekstremumning yetarli shartini topish orqali hal etiladi. Buning uchun z=f(x,y) funksiya M0(x0,y0) kritik nuqtaning biror atrofida aniqlangan, uzluksiz hamda uzluksiz I va II tartibli hosilalarga ega deb hisoblaymiz. Quyidagi belgilashlar kiritamiz:
A= f_xx’’ (x₀ ,y₀) , B= f_xy’’ (x₀ ,y₀) , C= f_yy’’ (x₀ ,y₀) , (3)
2-TEOREMA(Ekstrеmumning yetarli shartlari): Agar z=f(x,y) funksiya uchun M0(x0,y0) kritik nuqta bo‘lsa, unda (3) belgilashlarda quyidagi tasdiqlar o‘rinli :
1. Δ>0, A>0 holda funksiya M0(x0,y0) kritik nuqtada lokal minimumga ega;
2. Δ>0, A<0 holda funksiya M0(x0,y0) kritik nuqtada lokal maksimumga ega;
3. Δ<0 holda funksiya M0(x0,y0) kritik nuqtada lokal ekstremumga ega emas.
Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.
Izoh: Agar Δ=0 bo‘lsa funksiyaning M0(x0,y0) kritik nuqtadagi xususiyatini bu teorema orqali aniqlab bo‘lmaydi. Bu holda javob funksiyaning Δf(x0,y0) to‘la orttirmasining ishorasini tekshirish orqali topiladi.
Shunday qilib ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyani ekstremumga tekshirish quyidagi algoritm asosida amalga oshiriladi:
funksiyaning f_x’ (x ,y) , f_y’ (x ,y) xususiy hosilalari hisoblanadi; )
xususiy hosilalar nolga tenglashtirilib,
tenglamalar sistemasi hosil etiladi;
hosil etilgan tenglamalar sistemasi yechilib, funksiyaning kritik nuqtalari topiladi. Agar kritik nuqtalar mavjud bo‘lmasa, unda funksiya ekstremumga ega bo‘lmaydi;
funksiyaning II tartibli hosilalari topiladi;
kritik nuqtada (3) formulalar bo‘yicha A, B, C va Δ qiymatlari hisoblanadi;
A, B, C va Δ qiymatlari bo‘yicha kritik nuqtada funksiyaning xususiyati 2-teorema yordamida aniqlanadi.

Misol sifatida, f(x,y) = x²+ xy+y² –3x– 6y funksiyani ekstrеmumga tekshiramiz. Bu holda

f_x’ (x,y)=2x+y-3 , f_y’ (x,y)=2y+x-6
bo‘lib, ulardan tuzilgan
tenglamalar sistemasidan M0(0,3) kritik nuqtani topamiz. Bu yerda
f_xx’’ (x ,y)=2 , f_xy’’ (x ,y)=1 , f_yy’’ (x ,y)=2
bo‘lgani uchun A=2 , B=1 , C=2 va Δ=AC–B2=3 ekanligini ko‘ramiz.
Bunda Δ>0 , A>0 va shu sababli,ekstremumning yetarli shartiga asosan, bu funksiya M0(0,3) kritik nuqta lokal minimumga ega va fmin=f(0,3)=3²–18=–9 bo‘ladi.
Ikki o‘zgaruvchili funksiya lokal ekstremumiga doir ushbu iqtisodiy mazmunli masalani qaraymiz.