Reja kirish birinchi va ikkinchi tartibli chiziqli yuklangan oddiy differensial tenglamalar uchun masalalar

Birinchi va ikkinchi tartibli chiziqli yuklangan oddiy differensial tenglamalar uchun masalalar
1.1-§. Birinchi tartibli chiziqli yuklangan oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasi
Odatda differensial tenglamada noma’lum funksiya va uning hosilasi bilan birga uning bir yoki bir necha nuqtadagi qiymatlari qatnashsa, uni yuklangan differensial tenglama deyiladi.
Faraz qilaylik, , , - kesmada aniqlangan va uzluksiz funksiyalar, , , … , esa berilgan haqiqiy sonlar bo‘lib, bo‘lsin. U holda, agar -noma’lum funksiya bo‘lsa, ushbu tenglik
, (1)
birinchi tartibli chiziqli yuklangan oddiy differensial tenglama bo‘ladi.
(1) tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha bayon qiladi: (1) tenglamaning kesmada aniqlangan, uzluksiz va shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping. Bu yerda -berilgan haqiqiy son.
Bu masala quyidagicha yechiladi. ning o‘ng tomonini ma’lum funksiya deb hisoblasak, uning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud bo‘ladi va quyidagi formula bilan aniqlanadi:
. (2)
(2) ni biroz o‘zgartirib yozaylik:
.
Bu formuladan , nuqtalarda quyidagi tengliklar kelib chiqadi:
, . (3)
(3)- , noma’lumlarga nisbatan noma’lumli ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasidan iborat. Shuning uchun bu yerda quyidagi 3 hol bo‘lishi mumkin:
1. (3) ning asosiy determinanti . Unda u yagona yechimga ega bo‘ladi. Bu yerdan topilgan , larni (2) ga qo‘yib, masalaning yagona yechimiga ega bo‘lamiz. 2. va ning ustunlarini ketma-ket lar bilan almashtirilganda hosil bo‘lgan determinantlar , . Bunda (3) cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘ladi. Bunda sifatida ixtiyoriy sonlarni olish mumkin. Ularni (2) ga qo‘yib, masalaning cheksiz ko‘p yechimiga ega bo‘lamiz. 3. va biror uchun . U holda (3) sistema yechimga ega bo‘lmaydi. Demak, Koshi masalasi ham yechimga emas.
Endi quyidagi sodda masalani qaraylik. Ushbu
(4)
tenglamaning kesmada aniqlangan, uzluksiz va shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping, bu yerda , va -berilgan uzluksiz funksiyalar, -berilgan haqiqiy son.
Aniqki, (4) tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimi
(5)
formula bilan aniqlanadi. Unda desak, ga nisbatan
(6)
kvadrat tenglamaga ega bo‘lamiz. Agar ushbu

belgilashni kiritsak, u holda kvadrat tenglamalar nazariyasiga asosan, , va bo‘lishiga qarab, (6) tenglama mos ravishda 2 ta har xil, 1 ta yechimga ega bo‘ladi yoki yechimga ega bo‘lmaydi. va bo‘lganda (6) dan topilgan ni (5) ga qo‘yib, o‘rganilayotgan masala yechimiga ega bo‘lamiz. da masala yechimi mavjud bo‘lmaydi.