Reja kirish birinchi va ikkinchi tartibli chiziqli yuklangan oddiy differensial tenglamalar uchun masalalar

1.2-§. Yuklangan Bernulli tenglamasi uchun integral shartli masala
Faraz qilaylik, , , ,…, - kesmada aniqlangan va uzluksiz funksiyalar, , ,…, , lar berilgan haqiqiy sonlar bo‘lib, bo‘lsin. U holda, agar -noma’lum funksiya bo‘lsa, ushbu tenglik
, (1)
yuklangan Bernulli tenglamasi bo‘ladi, bu yerda .
Masala. (1) tenglamaning kesmada aniqlangan, uzluksiz va
(2)
shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin, bu yerda , , -berilgan haqiqiy sonlar bo‘lib, , .
Bu masaladan da (1) tenglama uchun boshlang‘ich masala, bo‘lganda esa birinchi tur integral shartli masala kelib chiqadi.
Yechish. Masala yechimini topish uchun avval (1) tenglamaning umumiy yechimini topib olamiz. Buning uchun , almashtirish bajaramiz. U holda (1) tenglamadan
(3)
tenglama kelib chiqadi.
(3) tenglamaning yechimini ko‘rinishda izlaymiz. Unda bo‘lib, (3) dan



tenglama kelib chiqadi.
Bu yerdan va larni topish uchun quyidagi sistemaga ega bo‘lamiz:

Bu sistemadan

kelib chiqadi. Bularni tenglikka qo‘yib, (3) tenglamaning umumiy yechimi formulasiga ega bo‘lamiz:
.
Endi belgilashga asosan ni topadigan bo‘lsak, (1) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha topiladi:
(4)
Bu funksiyani (2) shartga bo‘ysundirib, ning koeffisientlarini yig‘amiz:

.
, shartga asosan ning koeffisienti nolga teng emas. Shuning uchun oxirgi tenglikdan bir qiymatli topiladi:
. (5)
(5) tenglikni (1) tenglamaning umumiy yechimiga qo‘yib, quyidagi tenglikka ega bo‘lamiz:

.
Bu tenglikdan , nuqtalarda quyidagi tengliklar kelib chiqadi:

, .

Bu tengliklarni quyidagicha yozish mumkin:

, . (6)
Agar ushbu belgilashlarni kiritsak,
, ,
, ,
(6) tenglikni quyidagicha yozish mumkin:
, . (7)
(7) - , larga nisbatan n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi bo‘lib, uning asosiy determinanti quyidagidan iborat:

bilan ning j ustunini , sonlar bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan determinantni belgilaylik. U holda, agar

1) bo‘lsa, (7) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘ladi.
2) , , bo‘lsa, (7) tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘ladi.
3) , , , bo‘lsa, (7) tenglamalar sistemasi yechimga ega bo‘lmaydi.
Yuqorida bayon qilinganlardan quyidagi teorema kelib chiqadi:
Teorema. Agar bo‘lsa, masala yagona yechimga, agar , , bo‘lsa, cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘ladi.
Teorema shartlari bajarilganda (7) tenglamalar sistemasidan topilgan , larni (4) tenglikka qo‘yib, masala yechimini topamiz.