Reja kirish birinchi va ikkinchi tartibli chiziqli yuklangan oddiy differensial tenglamalar uchun masalalar

II BOB. O‘ng tomoni noma’lum bo‘lgan birinchi va ikkinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglama uchun masalalar
2.1-§. Birinchi tartibli chiziqli differensial tenglama uchun ikki nuqtali va ko‘p nuqtali chegaraviy masala
Ma’lumki , agar va funksiyalar kesmada uzluksiz bo‘lsa, birinchi tartibli ushbu

differensial tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud bo‘ladi. Lekin bu yechim ikkinchi shartni qanoatlantirishi ham qanoatlantirmasligi ham mumkin. SHu sababli, quyidagi savol paydo bo‘ladi: tenglamaning o‘ng tomoni qanday funksiya bo‘lganda, uning va nuqtada berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud bo‘ladi. Bu maqolada biz bu savolga qisman javob beremiz.
Shu maqsadda, kesmada birinchi tartibli chiziqli ushbu tenglamani qaraylik:
, (1)
bu yerda va - kesmada uzluksiz bo‘lgan berilgan funksiyalar, - noma’lum haqiqiy son, - noma’lum funksiya.
Ma’lumki , agar (1) tenglamada soni ma’lum bo‘lsa, u holda (1) tenglamadan - noma’lum funksiyani topish uchun bitta boshlang‘ich shart, masalan, ko‘rinishidagi shart berilishi zarur edi, bu yerda - berilgan haqiqiy son. Shuning uchun -noma’lum son bo‘lganda ham, (1) tenglamadan funksiyani topish talab qilinsa, u holda -noma’lum sonni topish zarur bo‘ladi. Demak, bu yerda -noma’lum sonni topish uchun ham yana bir shart berish zarur bo‘ladi. Bunday shartning ko‘rinishi turlicha bo‘lishi mumkin. Quyida biz shunday shartlarning biridan foydalanamiz.
1-masala. -noma’lum sonning shunday qiymati topilsinki, (1) tenglamaning
, (2)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud bo‘lsin, bu yerda va -berilgan haqiqiy sonlar.
Yechish. Vaqtincha ni ma’lum deb hisoblasak, u holda, ma’lumki , (1) tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi ushbu
(3)
formula bilan aniqlanadi.
Bu funksiyani shartga bo‘ysundiraylik:
.
Bu tenglik ga nisbatan tenglama bo‘lib, uni
(4)
ko‘rinishda yozish mumkin.
(4) tenglamada quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
1) . Bunda (4) dan soni bir qiymatli topiladi.
2) , . Bunda (4) tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, sifatida ixtiyoriy haqiqiy sonni olish mumkin.
3) , . Bunda (4) tenglama yechimga ega bo‘lmaydi. Demak, masala yechimga ega emas.
1) va 2) hollarda (4) dan topilgan ni (3) ga qo‘yib, (1) tenglamaning (2) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimiga ega bo‘lamiz.
Izoh. 3) holning ikkinchi shartidan kelib chiqadiki, qo‘yilgan masala , bo‘lgandagina yechimga ega bo‘lmasligi mumkin.
1-misol. , ; , .
Yechish. Bu yerda , . Unda
, ,
.
Bularni hisobga olsak, (3) tenglikka asosan berilgan tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimiga ega bo‘lamiz:
.
Buni shartga bo‘ysundirib, ekanligini topamiz. Demak, masalaning yechimi , .
2-misol. , ; , .
Yechish. Umumiy usul bilan ishonch hosil qilish qiyin emaski, berilgan tenglamaning umumiy yechimi ko‘rinishga ega, bu yerda q va C-noma’lum sonlar. Bu funksiyani chegaraviy shartlarga bo‘ysundiramiz:
, .
Demak,

Bundan , ekanligi kelib chiqadi. Demak, masalaning yechimi , .

Bizga kesmada aniqlangan va uzluksiz va funksiyalar berilgan bo‘lsin. U holda,

chiziqli differensial tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud. Bu yechim boshqa bir, masalan, shartni qanoatlantirishi ham, qanoatlantirmasligi ham mumkin. Buning geometrik ma’nosi, berilgan differensial tenglamaning nuqtadan o‘tuvchi integral chizig‘i nuqtadan o‘tishi ham, o‘tmasligi ham mumkin. Albatta, qaralayotgan differensial tenglamaga qo‘yilgan masalaning integral chizig‘i boshqa bir yoki bir necha nuqtalardan o‘tishini aniqlash ham muhim masaladir. Quyida biz ana shunday xossaga ega bo‘lgan ikki tenglama va ularga mos yechimni topishning bir usulini ko‘rsatamiz.
va - da aniqlangan funksiyalar, , , , berilgan haqiqiy sonlar bo‘lib, , -noma’lum ko‘phad, ya’ni , -noma’lum haqiqiy sonlar bo‘lsin.
U holda ushbu tenglama
, (1)
uchun quyidagi ko‘p nuqtali chegaraviy masalani qo‘yish mumkin.
Masala. ko‘phad shunday aniqlansinki, (1) differensial tenglamaning
, , … , (2)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud bo‘lsin.
Yechish. Agar ni ma’lum funksiya hisoblasak, (1) tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi mavjud va u
(3)
formula bilan aniqlanadi.
(3) funksiyani (2) shartlarning qolgan ta shartiga bo‘ysundiraylik:
, .
Bu tengliklarni ko‘phadning yoyilmasidan foydalanib quyidagicha yozish mumkin:
, . (4)
(4)- , noma’lum koeffisientlarga nisbatan noma’lumli ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini tashkil qiladi.
Bu sistemaning asosiy determinantini bilan belgilaylik, ya’ni
,
bilan esa ning -ustuni , bilan almashtirilgan determinantni belgilaylik. U holda, chiziqli algebraik tenglamalar nazariyasiga asosan quyidagi uch hol bo‘lishi mumkin.
1. . Unda (4) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘ladi. Bu yerdan topilgan , larni (3) formulaga qo‘yib, masalaning yagona yechimiga ega bo‘lamiz.
2. , , masalan, , . Unda (4) tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘ladi va , sifatida ixtiyoriy haqiqiy sonni olish mumkin. Demak, (3) formulada o‘rniga ixtiyoriy -darajali ko‘phadni qo‘yib, masalaning cheksiz ko‘p yechimiga ega bo‘lamiz.
3. , , bu yerda , .
Bunda (4) tenglamalar sistemasi yechimga ega bo‘lmaydi. Demak, masalaning yechimi ham mavjud emas, ya’ni har qanday ko‘phad olinganda ham (1) tenglamaning (2) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud bo‘lmaydi.
Endi birinchi tartibli chiziqli ushbu differensial tenglama berilgan bo‘lsin:
, (5)
bu yerda , , - berilgan uzluksiz funksiyalar, , - noma’lum parametrlar.
Masala. - noma’lum parametrlarning shunday qiymatlari topilsinki, (1) tenglamaning (2) shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud bo‘lsin.
Yechish. (5) tenglamaning (2) shartlarning birinchisini qanoatlantiruvchi yechimini ushbu ko‘rinishda yozish mumkin
. (6)
(6) funksiyani (2) shartlarning oxirgi n tasiga bo‘ysundiraylik:
, .
Bu tenglikni quyidagicha yozishimiz mumkin:
, . (7)
Agar quyidagi belgilashlarni kiritsak,
, , , ,
u holda (7) ni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:


, , (8)
(8) - , ga nisbatan n noma’lumli n ta tenglamalar sistemasi bo‘lib, uning asosiy determinanti quyidagidan iborat:

U holda (8) tenglamalar sistemasi uchun quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
1) . U holda (8) tenglamalar sistemasi yagona yechimga ega bo‘ladi.
2) , , bu yerda determinant dagi j ustun yelementlarini , sonlar bilan almashtirishdan hosil bo‘lgan determinant. U holda (8) tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimlarga ega bo‘ladi.
3) , , bu yerda va . U holda (8) tenglamalar sistemasi yechimga ega bo‘lmaydi.
1) va 2) hollarda (8) tenglamalar sistemasidan topilgan , larni (6) formulaga qo‘yib, {(5),(2)} masalaning yechimiga ega bo‘lamiz.
Yuqoridagilardan quyidagi xulosa kelib chiqadi: {(5),(2)} masala bo‘lganda yagona yechimga, , , tengliklar bajarilganda esa cheksiz ko‘p yechimlarga ega.