Reja kirish birinchi va ikkinchi tartibli chiziqli yuklangan oddiy differensial tenglamalar uchun masalalar

2.2-§. O‘ng tomoni noma’lum bo‘lgan birinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglama uchun nolokal masalalar
kesmada birinchi tartibli chiziqli ushbu tenglamani qaraylik:
, (1)
bu yerda va - kesmada uzluksiz bo‘lgan berilgan funksiyalar, - noma’lum haqiqiy son, - noma’lum funksiya.
Ma’lumki , agar (1) tenglamada soni ma’lum bo‘lsa, u holda (1) tenglamadan - noma’lum funksiyani topish uchun bitta boshlang‘ich shart, masalan, ko‘rinishidagi shart berilishi zarur edi, bu yerda - berilgan haqiqiy son. Shuning uchun noma’lum son bo‘lganda ham, (1) tenglamadan funksiyani topish talab qilinsa, u holda noma’lum sonni topish zarur bo‘ladi. Demak, bu yerda noma’lum sonni topish uchun ham yana bir shart berish zarur bo‘ladi. Bunday shartning ko‘rinishi turlicha bo‘lishi mumkin. Quyida biz shunday shartlarning ikkitasidan foydalanamiz.
1-masala. noma’lum sonning shunday qiymati topilsinki, (1) tenglamaning
, , (2)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud bo‘lsin, bu yerda , va -berilgan haqiqiy sonlar.
Yechish. Vaqtincha ni ma’lum deb hisoblasak, u holda, ma’lumki , (1) tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi ushbu
(3)
formula bilan aniqlanadi.
Bu funksiyani , shartga bo‘ysundiraylik:
.
Bu tenglik ga nisbatan chiziqli tenglama bo‘lib, uni

(4)
ko‘rinishda yozish mumkin.
(4) tenglamada quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
1) . Bunda (4) dan soni bir qiymatli topiladi.
2) , . Bunda (4) tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, sifatida ixtiyoriy haqiqiy sonni olish mumkin.
3) , . Bunda (4) tenglama yechimga ega bo‘lmaydi. Demak, 1-masala 1) holda yagona yechimga, 2) holda cheksiz ko‘p yechimlarga ega, 3) holda esa yechimga ega emas.
1) va 2) hollarda (4) tenglamadan topilgan ni (3) formulaga qo‘yib, 1-masalaning yechimiga ega bo‘lamiz.
Izoh. Odatda (2) shartlarning ikkinchisi Bitsadze-Samarskiy sharti deyiladi.
2-masala. noma’lum sonning shunday qiymati topilsinki, (1) tenglamaning
, (5)
shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi mavjud bo‘lsin, bu yerda va -berilgan haqiqiy sonlar.
Yechish. Bu masalada ham vaqtincha ni ma’lum deb hisoblasak, (1) tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yagona yechimi (3) formula bilan aniqlanadi.
Bu (3) funksiyani shartga bo‘ysundiraylik:
.
Bu tenglik ga nisbatan chiziqli tenglama bo‘lib, uni
(6)
ko‘rinishda yozish mumkin.
(6) tenglamada quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
1) . Bunda (6) dan soni bir qiymatli topiladi.
2) , . Bunda (6) tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, sifatida ixtiyoriy haqiqiy sonni olish mumkin.
3) , . Bunda (6) tenglama yechimga ega bo‘lmaydi.
Demak, 2-masala 1) holda yagona yechimga, 2) holda cheksiz ko‘p yechimga ega, 3) holda esa yechimga ega emas.
1) va 2) hollarda (6) tenglamadan topilgan ni (3) formulaga qo‘yib, 2-masalaning yechimiga ega bo‘lamiz.
Izoh. Odatda (5) shartlarning ikkinchisini birinchi tur integral shart deyiladi.
XULOSA
Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalar nazariyasi uzoq tarixga ega bo‘lib, dastlab bunday tenglamalar uchun boshlang‘ich masala (Koshi masalasi), keyinchalik esa chegaraviy masalalar o‘rganilgan. Shuningdek, birinchi tartibli chiziqli oddiy differensial tenglama uchun boshlang‘ich masalaning geometrik ma’nosi berilgan tenglamaning berilgan nuqtadan o‘tuvchi integral chizig‘ini topishdan iborat. Bu integral chiziqni boshqa ikkinchi nuqtadan o‘tishi masalasi ham muhumdir. Fanning rivojlanishi va oddiy differensial tenglamalar uchun qo‘yilgan masalalarning amaliy tatbiqlari topilishi natijasida ma’lum bo‘ldiki, berilgan tenglamaning o‘ng tomoni qanday funksiya bo‘lganda, uning integral chizig‘i berilgan ikki nuqtadan o‘tadi?-degan savol tug‘ildi. Kurs ishi yuklangan va o‘ng tomoni noma’lum bo‘lgan oddiy differensial tenglamalar uchun masalalarni o‘rganishga bag‘ishlangan.
Ushbu kurs ishida o‘ng tomoni noma’lum bo‘lgan oddiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni o‘rganilgan va bunday tenglamalar uchun avval o‘rgangan masalalarni umumlashtiruvchi masalalar bayon qilingan va o‘rganilgan. Bunda chegaraviy shart sifatida nolokal shartlar, ya’ni birinchi va ikkinchi tur integral shart va umumlashgan chegaraviy shartlar olingan. So‘ngra birinchi va ikkinchi tartibli yuklangan differensial tenglamalar uchun ham chegaraviy masalalar bayon qilingan va o‘rganilgan. Bulardan tashqari yuqorida ta’kidlab o‘tilgan o‘ng tomoni noma’lum bo‘lgan differensial tenglamalar uchun nolokal shartli chegaraviy masalalar ya’ni Bisadze-Samarskiy shartli va integral shartli masalalarni qo‘yilishi va bir qiymatli yechilishi bilan shug‘ullanilgan.