Reja: kirish. I bob. Qavariq figuralar

Diagonal ko'pburchak uning qo'shni bo'lmagan uchlarini bog'lovchi segment deyiladi.

Teorema (n-burchakning diagonallari soni bo'yicha)
Qavariq $ n $ -gon diagonallari soni $ \ dfrac (n (n-3)) (2) $ formulasi bilan hisoblanadi.
Isbot

N-burchakning har bir tepasidan $n-3$ diagonallarini chizishingiz mumkin (siz qoʻshni choʻqqilarga va shu choʻqqining oʻziga diagonal chizib boʻlmaydi). Agar biz barcha mumkin bo'lgan segmentlarni hisoblasak, ular $ n \ cdot (n-3) $ bo'ladi, chunki uchlari $ n $. Lekin har bir diagonal ikki marta sanaladi. Shunday qilib, n-burchakning diagonallari soni $ \ dfrac (n (n-3)) (2) $ ga teng.
Teorema (n-burchak burchaklarining yig'indisi bo'yicha)
Qavariq $ n $ -gon burchaklarining yig'indisi $ 180 ^ \ circ (n-2) $ ga teng.

Isbot
$ n $ -gon $ A_1A_2A_3 \ ldots A_n $ ni ko'rib chiqing.
Ushbu ko'pburchak ichida ixtiyoriy $ O $ nuqtasini oling.
Barcha uchburchaklar $ A_1OA_2 , A_2OA_3 $, $ A_3OA_4 $, \ ldots, $ A_ (n-1) OA_n $ burchaklarining yigʻindisi $180 ^ \ circ \ cdot n $ ga teng.
Boshqa tomondan, bu yig'indi ko'pburchakning barcha ichki burchaklarining yig'indisi va umumiy burchak O = burchak 1+ burchak 2+ burchak 3+ = 30 ^
Keyin ko'rib chiqilayotgan n -burchaklarining yig'indisi 180 n-360 = 180 ^ (n-2)
Natija
Qavariq bo'lmagan $ n $ -gon burchaklarining yig'indisi $ 180 ^ \ circ (n-2) $ ga teng.

Isbot
A_1A_2 A_n ko'pburchakni ko'rib chiqaylik, u faqat qavariq bo'lmagan burchakka ega \ burchak A_2 , ya'ni \ burchak A_2> 180.
Uning ovlash summasini S bilan belgilaymiz.
A_1A_3 nuqtalarini bog'laymiz va $ A_1A_3 \ ldots A_n $ ko'pburchakni ko'rib chiqamiz.
Ushbu ko'pburchakning burchaklarining yig'indisi:
180 ^ \ circ \ cdot (n-1-2) = S- \ burchak A_2 + \ burchak 1+ \ burchak
2 = S- \ burchak A_2 + 180 ^ \ circ- \ burchak A_1A_2A_3 = S + 180 ^ \ aylanma - ( \ burchak A_1A_2A_3 + \ burchak A_2) = S + 180 \ 360 .
Shuning uchun, S = 180 ^ \ circ \ cdot (n-1-2) + 180 ^ \ circ = 180 ^ \ circ \ cdot (n-2) .
Agar dastlabki ko'pburchakda bir nechta qavariq bo'lmagan burchaklar bo'lsa, u holda yuqoridagi amalni har bir bunday burchak bilan bajarish mumkin, bu esa isbotlangan bayonotga olib keladi.
Teorema (qavariq n-burchakning tashqi burchaklarining yig'indisi bo'yicha)
Qavariq n -burchakning tashqi burchaklarining yigʻindisi 360 ^ ga teng.

Isbot
A_1 cho'qqisidagi tashqi burchak $ 180 ^ \ circ- \ burchak A_1 $ ga teng.
Barcha tashqi burchaklarning yig'indisi:
$ \ sum \ limits_ (n) (180 ^ \ circ- \ burchak A_n) = n \ cdot180 ^ \ circ - \ sum \ limits_ (n) A_n = n \ cdot180 ^ \ circ - 180 ^ \ circ \ cdot (n) -2) = 360 ^ \ circ $.
Eslatma... Ushbu materialda teorema va uning isboti, shuningdek, amaliy misollarda qavariq ko'pburchak burchaklarining yig'indisi bo'yicha teorema qo'llanilishini ko'rsatadigan bir qator masalalar mavjud..