Reja: kirish. I bob. Qavariq figuralar

II BOB. Qavariq ko’pburchaklar.
Qavariq ko'pburchakning burchaklari uning yon tomonlaridan hosil bo'lgan burchaklardir. Ichki burchaklar berilgan geometrik shaklning ichki hududida joylashgan. Uning bir cho'qqisiga yaqinlashuvchi tomonlari hosil qiladigan burchak qavariq ko'pburchakning burchagi deyiladi. berilgan geometrik figuraning ichki burchaklari bilan tashqi deyiladi. Uning ichida joylashgan qavariq ko'pburchakning har bir burchagi quyidagilarga teng:
bu erda x - tashqi burchakning qiymati. Bu oddiy formula bu turdagi har qanday geometrik shakllar uchun amal qiladi.
Umuman olganda, tashqi burchaklar uchun quyidagi qoida mavjud: konveks ko'pburchakning har bir burchagi 180 ° va ichki burchakning qiymati o'rtasidagi farqga teng. -180 ° dan 180 ° gacha bo'lishi mumkin. Shuning uchun, ichki burchak 120 ° bo'lsa, tashqi tomondan 60 ° bo'ladi.
2.1.Qavariq ko‘pburchak xossalari

Qavariq ko'pburchaklar ma'lum xususiyatlarga ega. Shunday qilib, bunday geometrik figuraning istalgan 2 nuqtasini bog'laydigan segment, albatta, unda joylashgan. Isbot:
Faraz qilaylik, P berilgan qavariq ko‘pburchak bo‘lsin. Biz 2 ta ixtiyoriy nuqtani olamiz, masalan, P ga tegishli bo'lgan A, B. Qavariq ko'pburchakning mavjud ta'rifiga ko'ra, bu nuqtalar P ning istalgan tomonini o'z ichiga olgan to'g'ri chiziqning bir tomonida joylashgan. Demak, AB. bu xususiyatga ham ega va P da mavjud. Qavariq ko'pburchak har doim uning cho'qqilaridan biridan chizilgan mutlaqo barcha diagonallari bo'lgan bir nechta uchburchaklarga bo'linishi mumkin.


2.2.Qavariq ko'pburchak perimetri
Ko'pburchakning tomonlari deb ataladigan ko'p chiziqning segmentlari ko'pincha quyidagi harflar bilan belgilanadi: ab, bc, cd, de, ea. Bu uchlari a, b, c, d, e bo'lgan geometrik figuraning tomonlari. Ushbu qavariq ko'pburchakning barcha tomonlari uzunliklarining yig'indisiga uning perimetri deyiladi.
Ko'pburchak doira
Qavariq ko'pburchaklar chizilgan va chegaralangan bo'lishi mumkin. Ushbu geometrik shaklning barcha tomonlariga tegib turgan doira ichiga yozilgan deb ataladi. Bunday ko'pburchak tasvirlangan deb ataladi. Ko'pburchak ichiga chizilgan aylananing markazi bu geometrik shakldagi barcha burchaklarning bissektrisalarining kesishish nuqtasidir. Bunday ko'pburchakning maydoni:
bu yerda r - chizilgan aylana radiusi, p - berilgan ko'pburchakning yarim perimetri.
Ko'pburchakning uchlarini o'z ichiga olgan doira uning atrofida aylana deyiladi. Bundan tashqari, bu konveks geometrik shakl yozilgan deb ataladi. Bunday ko'pburchak atrofida tasvirlangan aylananing markazi barcha tomonlarning o'rta perpendikulyarlari deb ataladigan kesishish nuqtasidir.
Qavariq geometrik shakllarning diagonallari

Qavariq ko'pburchakning diagonallari qo'shni bo'lmagan cho'qqilarni bog'laydigan chiziq segmentlaridir. Ularning har biri ushbu geometrik shakl ichida joylashgan. Bunday n-burchakning diagonallari soni quyidagi formula bilan aniqlanadi:
N = n (n - 3) / 2.
Qavariq ko'pburchakning diagonallari soni elementar geometriyada muhim rol o'ynaydi. Har bir qavariq ko'pburchaklarga bo'linadigan uchburchaklar soni (K) quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:
Qavariq ko'pburchakning diagonallari soni doimo uning uchlari soniga bog'liq.
Qavariq ko'pburchakni qismlarga bo'lish
Ba'zi hollarda geometrik masalalarni yechish uchun qavariq ko'pburchakni diagonallari bir-biriga bog'langan bir nechta uchburchaklarga bo'lish kerak. Bu muammoni ma'lum bir formulani olish orqali hal qilish mumkin.
Muammoning ta'rifi: Qavariq n-burchakni faqat shu geometrik figuraning uchlarida kesishgan diagonallar orqali bir nechta uchburchaklarga bo'linishini muntazam deb ataymiz.
Yechish: Faraz qilaylik, R1, R2, R3 ..., Pn bu n-burchakning uchlari bo‘lsin. Xn soni - uning bo'limlari soni. Keling, Pi Pn geometrik figurasining hosil bo'lgan diagonalini diqqat bilan ko'rib chiqaylik. Har qanday oddiy bo'limda R1, Pn aniq R1 Pi Pn uchburchakka tegishli bo'lib, u uchun 1i = 2 har doim P2 diagonali Pn ni o'z ichiga olgan muntazam bo'limlarning bir guruhi bo'lsin. Unga kiritilgan bo'limlar soni (n-1) -gon R2 R3 R4... Pn bo'limlari soniga to'g'ri keladi. Boshqacha qilib aytganda, u Xn-1 ga teng.
Agar i = 3 bo'lsa, bu boshqa bo'limlar guruhi har doim R3 R1 va R3 Pn diagonallarini o'z ichiga oladi. Bunday holda, ushbu guruhdagi muntazam bo'limlar soni (n-2) -gon P3 P4 ... Pn bo'limlari soniga to'g'ri keladi. Boshqacha qilib aytganda, u Xn-2 ga teng bo'ladi.
i = 4 bo'lsin, u holda uchburchaklar orasida muntazam bo'linish, albatta, R1 R4 Pn uchburchakni o'z ichiga oladi, unga R1 R2 R3 R4, (n-3) -gon R4 R5… Pn to'rtburchak tutashadi. Bunday to'rtburchakning muntazam bo'limlari soni X4 ga, (n-3) -gon bo'linmalari soni esa Xn-3 ga teng. Yuqorida aytilganlarga asoslanib, biz ushbu guruhdagi to'g'ri bo'limlarning umumiy soni Xn-3 X4 ga teng deb aytishimiz mumkin. i = 4, 5, 6, 7 ... bo'lgan boshqa guruhlar Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... to'g'ri bo'limlarni o'z ichiga oladi.
i = n-2 bo'lsin, keyin bu guruhdagi to'g'ri bo'limlar soni i = 2 bo'lgan guruhdagi bo'limlar soniga to'g'ri keladi (boshqacha aytganda, Xn-1 ga teng).
X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ... bo'lgani uchun, qavariq ko'pburchakning barcha bo'limlari soni:
Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 +… + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.
X5 = X4 + X3 + X4 = 5
X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14
X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42
X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Ichkarida bir diagonalni kesib o'tuvchi muntazam bo'limlar soni

Maxsus holatlarni tekshirganda, qavariq n-gonlarning diagonallari soni ushbu raqamning barcha bo'limlari ko'paytmasiga (n-3) teng degan taxminga kelish mumkin.
Bu taxminning isboti: tasavvur qiling-a, P1n = Xn * (n-3), u holda har qanday n-gon (n-2) -uchburchaklarga bo'linishi mumkin. Bundan tashqari, ulardan (n-3) -uchburchak hosil qilish mumkin. Shu bilan birga, har bir to'rtburchakning diagonali bo'ladi. Ushbu qavariq geometrik shakl ikkita diagonalni o'z ichiga olishi mumkinligi sababli, bu har qanday (n-3) - uchburchakda qo'shimcha (n-3) diagonallarni chizish mumkinligini anglatadi. Shunga asoslanib, har qanday muntazam bo'limda ushbu masala shartlariga mos keladigan (n-3) - diagonallarni chizish imkoniyati mavjud degan xulosaga kelishimiz mumkin.