Reja: kirish. I bob. Qavariq figuralar

1.2.Qavariq ko'pburchak burchaklarining yig'indisi.
Qavariq ko'pburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teorema
Qavariq ko'pburchak burchaklarining yig'indisi haqidagi teoremani isbotlash uchun biz allaqachon isbotlangan teoremadan foydalanamiz, bu uchburchak burchaklarining yig'indisi 180 gradusdir.
Isbot.
A 1 A 2 ... A n berilgan qavariq ko‘pburchak bo‘lsin va n> 3. Ko‘pburchakning A 1 tepasidan barcha diagonallarini chizing. Ular uni n - 2 ta uchburchakka ajratadilar: D A 1 A 2 A 3. , D A 1 A 3 A 4, ..., D A 1 A n - 1 A n. Ko'pburchak burchaklarining yig'indisi bu barcha uchburchaklarning burchaklarining yig'indisiga teng. Har bir uchburchakning burchaklari 180 ° ga qo'shiladi va uchburchaklar soni (n - 2) ga teng. Shuning uchun, qavariq n -gon A 1 A 2 ... A n burchaklarining yig'indisi 180 ° (n - 2) ga teng.
Vazifa.
Qavariq ko'pburchakning uchta burchagi 80 daraja, qolganlari esa 150 daraja. Qavariq ko'pburchakda nechta burchak bor?
Yechim.
Teorema shunday deydi: Qavariq n-burchak uchun burchaklar yig'indisi 180 ° (n-2) ga teng. .
Shunday qilib, bizning holatlarimiz uchun:
180 (n-2) = 3 * 80 + x * 150, bu erda
Masalaning shartiga ko'ra bizga 80 gradusli 3 ta burchak berilgan, qolgan burchaklar soni esa bizga hali noma'lum, shuning uchun ularning sonini x deb belgilaymiz.
Biroq, chap tarafdagi yozuvdan biz ko'pburchakning burchaklar sonini n deb aniqladik, chunki biz uchta burchakning qiymatlarini muammoning shartidan bilganimiz sababli, x = n-3 ekanligi aniq.
Shunday qilib, tenglama quyidagicha ko'rinadi:
180 (n-2) = 240 + 150 (n-3)
Olingan tenglamani yechamiz
180n - 360 = 240 + 150n - 450
180n - 150n = 240 + 360 - 450
Javob: 5 cho'qqi
Vazifa.
Har bir burchak 120 darajadan kichik bo'lsa, ko'pburchakning nechta cho'qqisi bo'lishi mumkin?
Yechim.
Bu masalani yechish uchun qavariq ko‘pburchak burchaklarining yig‘indisi haqidagi teoremadan foydalanamiz.
Teorema shunday deydi: Qavariq n-burchak uchun barcha burchaklarning yig'indisi 180 ° (n-2) ga teng. .
Demak, bizning holatimiz uchun avvalo masalaning chegaraviy shartlarini baholash kerak. Ya'ni, burchaklarning har biri 120 daraja deb taxmin qiling. Biz olamiz:
180n - 360 = 120n
180n - 120n = 360 (bu ifodani quyida alohida ko'rib chiqamiz)
Olingan tenglamaga asoslanib, biz xulosa qilamiz: agar burchaklar 120 darajadan kam bo'lsa, ko'pburchak burchaklar soni oltidan kam.
Tushuntirish:
180n - 120n = 360 ifodasiga asoslanib, olib tashlangan o'ng tomoni 120n dan kam bo'lsa, farq 60n dan ortiq bo'lishi kerak. Shunday qilib, bo'linish koeffitsienti har doim oltidan kichik bo'ladi.
Javob: ko'pburchakdagi uchlari soni oltidan kam bo'ladi.
Vazifa
Ko'pburchakda 113 graduslik uchta burchak mavjud, qolganlari bir-biriga teng va ularning daraja o'lchovi butun sondir. Ko‘pburchakning uchlari sonini toping.
Yechim.
Bu masalani yechish uchun qavariq ko‘pburchakning tashqi burchaklarining yig‘indisi haqidagi teoremadan foydalanamiz.
Teorema shunday deydi: Qavariq n-burchak uchun barcha tashqi burchaklarning yig'indisi 360 ° ga teng .
Shunday qilib,
3 * (180-113) + (n-3) x = 360
ifodaning o'ng tomoni tashqi burchaklar yig'indisi, chap tomonda uchta burchakning yig'indisi shart bilan ma'lum va qolganlarning daraja o'lchovi (ularning soni, mos ravishda, n-3, chunki uchta burchak ma'lum) x sifatida belgilanadi.
159 ni faqat ikkita omil 53 va 3 ga ajratish mumkin, 53 esa tub sondir. Ya'ni, boshqa juft omillar yo'q.
Shunday qilib, n-3 = 3, n = 6, ya'ni ko'pburchakning burchaklari soni oltita.