Reja: To’lqin funktsiyasi

Mavzu: Vodorod atomi. Elektronning orbital mexanik va magnit momentlari.
Reja:
1. Vodorod atomi.
2. Azimutal tenglama.
3. Elektronning orbital mexanik va magnit momentlari.
Tashqi elektron qobig‘ida bitta elektron (valent elektron) harakatlanayotgan atom bir elektronli atom deyiladi. Bir elektronli atomlarga vodorod va vodorodsimon atomlar kiradi.
Vodorod atomi eng oddiy atom tizimi bo‘lib, u proton va elektrondan tuzilgan. Yadro maydonida bitta elektron harakatlanadi. Proton va elektron orasida elektr tortishish kuchi ta’sir qiladi.
Proton massasi elektron massasidan bir necha marta kattadir, shuning uchun protonni (yadroni) deyarli tinch holatda deb qabul qilish mumkin. Klassik tasavvurlarga asosan vodorod atomi tuzilishi 1-rasmda ko‘rsatilgan. Yadro to‘g‘ri burchakli koordinata tizimi boshida joylashgan. Elektron yadro atrofida r o‘lchamli orbita bo‘ylab Kulon tortishish kuchi ta’sirida harakatlanadi. Elektronning potensial energiyasi

Kvant mexanikasi nuqtai nazaridan elektron Kulon potensial chuqurligida joylashgan to‘lqinlar tizimidan iborat. Bundan esa turg‘un to‘lqinlar tizimi mavjud bo‘lishligi kelib chiqadi. Bu to‘lqinlarning har biriga to‘liq energiyaning mumkin bo‘lgan qiymati mos keladi. Bunday holda to‘lqin tenglamasini uch o‘lchamli ko‘rinishda yozish talab qilinadi. Vodorod atomi stasionar holatda bo‘lgani uchun vaqtga bog‘liq bo‘lmagan Shredinger tenglamasidan foydalanish qulaydir. Bunda to‘liq energiya quyidagicha:
(2)
To‘g‘ri burchakli koordinatalar tizimida uch o‘lchamli holatda Gamilton operatori quyidagicha ko‘rinishda yoziladi:
(3)
Masalaning simmetrik bo‘lganligidan bu o‘rinda sferik koordinatalar tizimidan foydalaniladi. Bunday sistema 1-rasmda keltirilgan. Rasmda radius vektor – r, qutb burchagi – , azimut burchagi – sferik koordinatalar hisoblanadi. Dekart koordinatalar x,y,z va sferik koordinatalar r, , orasida quyidagicha bog‘lanish mavjud:

(4)

(4)da keltirilgan formulalar orqali dekart koordinatalar tizimidan sferik koordinatalar tizimiga o‘tamiz.
Gamilton operatorini sferik koordinatalar tizimida yozib, ma’lum matematik amallarni bajargandan so‘ng Shredingerning stasionar tenglamasini quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:
(5)
Endi to‘lqin funksiyasi r, va ga bog‘liq bo‘ladi.
= (r, , ) (6)
Hosil qilingan (5) tenglamaning yechimi uchta koordinata funksiyasi ko‘paytmasi ko‘rinishida bo‘ladi.
(r, , ) = R(r)Θ( ) ( ) (7)
(7) ifodani (5) formuladagi Shredinger tenglamasiga qo‘yamiz va 2mr²/ћ² ga ko‘paytiramiz, u vaqtda:
(8)
(8) tenglamani =RΘ ga bo‘lsak, hadlari r ga bog‘liq va larga bog‘liq bo‘lmagan ifoda hosil bo‘ladi. Bu holat ikki qismni guruhlashga yordam beradi: r ga bog‘liq bo‘lgan radial va ga bog‘liq bo‘lgan burchak qismlaridir.
(9)
Shunday qilib, vodorod atomining ideallashtirilgan modeli uchun Shredingerning sferik koordinatalar tizimidagi to‘lqin tenglamasi bilan aniqlanadi.