Reje: Fibonachchi sanlarınıń anıqlaması

Fibonachchi sanlarınıń ápiwayı ózgeshelikleri. Fibonachchi sanları júdá kóplegen qızıqlı ózgesheliklerge iye. Tómende bul ózgesheliklerden bazıların keltiremiz.
1-qásiyet . Dáslepki n ta Fibonachchi sanlarınıń jıyındısı ( -1) ǵa teń, yaǵnıy

Haqıyqatlıqtan da, Fibonachchi sanlarınıń anıqlamasına kóre

2. 
   qásiyet. Taq cifrlı dáslepki n ta Fibonachchi sanlarınıń jıyındısı teń, yaǵnıy
   

Belgili,

3. 
   qásiyet. Jup cifrlı dáslepki n ta Fibonachchi sanlarınıń jıyındısı
   

( -1) ǵa teń, yaǵnıy

Bul qasiyetti tastıyıqlaw ushın, 1- qasiyetke kóre,

teńlik orınlı ekenligin hám 2-qasiyetti esapqa alıw jetkilikli:

Joqarıda tastıyıqlanǵan 1- hám 2- qásiyetlerden paydalanıp. Fibonachchi sanlarınıń belgisi almasıwshı qatarı jıyındısı haqqındaǵı tómendegi ózgesheligin da tastıyıqlaw múmkin.
4-qásiyet. Dáslepki n ta Fibonachchi sanları ushın
+1
teńlik orınlı bolıp tabıladı.
5-qásiyet. Dáslepki n ta Fibonachchi sanları kvadratlarınıń jıyındısı ǵa teń, yaǵnıy
.
Haqıyqatlıqtan da, Fibbonachi qatarınıń tariypiga kóre boladı hám birdan úlken qálegen natural n san ushın
.
teńlik orınlı bolıp tabıladı. Sol sebepli

6 - x o s s a. Qálegen i Fibonachchi sanınıń kvadratı menen p ch tuiin
ko 'paytma arasındaǵı parq birge teń, ya 'ni u~ — M„_, W, = (—I)”' 1.
Bul qasiyetti matematikalıq induksiya usılı járdeminde tastıyıqlaymız. Baza :
n — 2 ushın ıyt; - u^it-. = 1 — 1 • 2 = -1 = (-1) ፄ*1 - tastıyıq to'g 'ri.
Induksion ótiw: bul qasiyet n — k > 2 ushın tuwrı, yaǵnıy
" k yamasa ol : = n iA itk+l + (- 1 ) '* 1 bolsın. Aqırǵı
teńliktiń eki tárepine i11* + lld'ui + (-!) *" '
teńlik jáne bul teńlikten uk (uk + //At]) =? /,., (g/A _, +) + (- l) *+l kelip
shıǵadı. Fibonachchi qatarınıń anıqlanıwınan paydalanıp, tómen dagilarga
iye bolamız : ıyt. uk., + (- I) 4' 1, //■,, + nknk, = (-1 ) * *' •
Aqırǵı teńliktiń eki tóbeomni ( — 1 ) ga kópaytirsak.
uk+i — = (— 1 ) '*'! ' 1 teńlik payda boladı. ■
Matematikalıq induksiya usılın qollap Fibonachchi sanlarming
tómendegi 7-10 - ózgesheliklerin de tastıyıqlaw múmkin:
■)
7- x o s s a. m, m? + ın t. + u3 w4 +... + iiln_lit^. = ıyt;,.,. 8- x o s s a. ol xit2 + ın t, + ol xit4 +... + - I.
9 -x o s s a. mtl + (// — l) w, + (n — 2) ol. +... + 2 g/ (;_, +//„ =g/„, 4 - ( / / + 3).
10 - x o s s a. i. + 2 ol 2 + 3 ıyt. +... + m i n = a sh p+,- ipL + 2.
Elndi Fibonachchi sanlarınıń bınamial koefficiyentler (Paskal
úshmuyesh) menen baylanısıwın ańlatiwshı qasiyetti úyrenemiz.
11- qasiyet. Fibonachchi sanı un ( n e \ ) ushın it„= v (', * <,
k ii
teńlik o 'rin/i bolıp tabıladı.
123
Bul qasiyetti tastıyıqlaw ushın i ch (/7 = 1, 2,... ) sanlardan dúzilgen
WpUi... .. kctma-ketliktiń Fibonachchi qatarı bolıwın kórsetiw
jetkilikli. Bulling ushın bolsa
1^1
“ i = S c.-t-. = X f -* = c = i.
i-=n /t—ri
I ( i - l” I ( • •• '" I
k= 0 /. i
ekenligin aytıp,.. ...a.... izbe-izlik ushın i, = ol +u, (
1 " /J + J n //-1 v
n > 2 ) rekurrent teńliktiń orınlanıwın kórsetemiz.
Eger /7 jup san ( /? = 2. v. l e N ) bolsa. ol halda
Teńliklerge iye bolamız.
n toq san bolǵanda da, joqarıdaǵı sıyaqlı oy-pikirler júrgizip,
1,, Ol \ = »„+ «„., (n > 2 ) teńliktiń tuwrılıǵın kórsetiw múmkin.
Sonday eken, Fibonachchi qatarınıń tariyplga tiykarlanıp. ol v ol-,,..., ol izbe-izligi Fibonachchi qatarı bolıp tabıladı. k| vI
Joqarıda aytıp ótkeni sıyaqlı, uu — 7 ( '* ^, teńlik Fibonachchi
sanları menen Paskal úshmuyesh arasındaǵı baylanısıwdı ańlatadı. 1-
formada suwretlengen Paskal úshmuyesh degi shtrixlı sızıqlar boylap
jaylasqan sanlar jıyındısı Fibonachchi sanlarma quraydı.
^2
=3
=4
=5
=6
- 7
=8
=0
S' T ^ ፄ/r
y \
A ^ Z ir \5 6 1
/11 I I ^
;/, I 12 '
//v-1'3+1 5
//,-- 1+4+3 N
= 1 - o -6+ 1 -13
■4 i {'• Hi 4 2:
//0=1+7+15-40+1=34
iii
i,
P 'lZ L 'b S 35 2 1 7 1
2 Ya& 56 70 56 28 8 1
/- >7 wA7
12- qasiyet. Fibonachchi sanı un ( n s l \ ) ushın
/ v /
teńlik o 'rinliclir.
Bul qasiyetti tastıyıqlaw maqsetinde, áwele, a haqıyqıy san ushın
SG =1 +0 C teńlik orınlı bolsın dep shama menen oylaıp, a \ a 4, a ', a " hám
taǵı basqa dárejelerdi a arqalı ańlatpalaymız: a = UOC = « (1 +Cf ) = 1 + 2 a.
c~ = c a r = a ( 1 + 2 c ) = 2 + 3 c, c ' = c c 4 = or” = (XOC = a ( 3 -i- 5 a) = 5 + Awa hám taǵı basqa. Bul ańlatpalardan kórinip
turıptı, olda, olardaǵı o/od hadlar da, a dıń koefficiyentleri de
Fibonachchi sanlarınan ibarat esaplanadi.
Matematikalıq induksiya usılınan paydalanıp, eger un Fibonachchi sanı
bolsa, ol halda qálegen n> 2 natural sanlar ushın a" =«„_, + iia
formulanıń tuwrılıǵın kórsetemiz.
Haqıyqatlıqtan da, /7 = 2 bolǵanda a~ = u] + ol, a = I +a teńlikke
iye bolamız, yaǵnıy baza atqarıldı.
Induksion ótiw: n = k bolǵan hoi ushın a. k = uk_] +uha formula
tuwrı bolsın. Ol halda n = k + 1 bolǵanda tómendegi teńliklerdi ónim
etemiz:
a K+l = aa k =a (ukA + úke) = ik^a + i, a 2 =
= uk _}a + i k ( 1 + «) = // (, « + uK + ol,, a =
= uk+{uk_]+uk) a = uk +uk+]a.
Sonday eken,
a" il = ol, +uk+]a.
Sonday etip, OS = 1 + a hám qálegen n > 2 natural sanlar ushın ii
Fibonachchi sanı bolsa, ol halda a" = + ol na formula tuwrı ekenligi
tastıyıqlandi. Hndi OT=l + a teńlikti kvadrat teńleme retinde qaray,
1 + v5 1 - l]5
onıń biri oń, ekinshisi teris eki al =------ hám tt, = ------
iIdizlarini tabamız. a" = una formulaǵa kóre,
I a. = + una
Itti - ol n_, +una2.
Bul teńliklerdi un, hám ol n noma'Iumlarga salıstırǵanda teńlemeler sisteması dep qaraymız jáne onı hal etip, 12- qasiyettiń tastıyıqına iye bolamız. i
qasiyetti
Sonısı ájayıpki, 12- qasiyetke qaray, pútkil bahalı un san irratsional
sanlardan ibarat bolǵan kvadrat túbirler arqalı ańlatpalanıp atır. 12-
ańlatiwshı teńlik Bine1 formulası dep júritiledi.
Kesindin bóleklerge bolıwda altın
kesim túsinigin eslaylik. Berilgen
kesindiniń altın kesimi dep onı sonday
eki bólekke ajıratıw túsinilediki. bul
jerde pútkil kesindi uzınlıǵınıń úlken
bólim uzınlıǵına qatnası hám úlken bólim
uzınlıǵınıń kishi bólim uzınlıǵına
qatnası o 'zaro teń bolıp tabıladı. Bul koefficienttiń
ma`nisi a, ga teń boiishini anıqlaw
qıyın emes. " 'Altın kesim" sóz dizbeginiń
mazmunı usınıń menen de tastıyıqlanadiki,
mısalı, tárepleri uzınlıqlarınıń qatnası
2- forma
I + ch/s
1. 6 1 x sanǵa
jaqın bolǵan tuwrı tórtmuyush insan kózine jaǵımlı bolıp kórinisi
áyyemgi zamanlardayoq m a'lum bolǵan. Taǵı sonısı da qızıqlıki,.. i„ \5 - 1! im- nm —u
Tańlanıwlanarlisi mınada, Fibonachchi sanları tábiyaattıń túrli zat hám
hádiyselerinde qápelimdede kórinetuǵın bolıwadı. Mısalı, olar
ayǵabaǵardıń urıwları jaylasqan “sebet”ida ańsatlıq penen sanap
anıqlaw múmkin bolǵan spirallar (anıqrog'i spirallar ayqulaqları ) sanları
retinde payda boladı (2- formaǵa qarang). Ayǵabaǵardıń urıwları
jaylasqan sebetinde logarifmik spirallarning" eki shańaraǵın baqlaw
múmkin. Bul shańaraqlardan biri dıń spirallari aylanıwı saat millari
baǵdarında, ekinshisiniki bolsa keri baǵıtda boladı.
Botanikada spirallar shańaraqlarınıń bunday jaylasıwın fillotaksis3 dep
ataydılar. Shańaraqlar daǵı spirallar sanları Fibonachchi qatarında izbe-iz
Jaylasqan eki Fibonachchi sanlarınan ibarat boladı. Olar ayǵabaǵar
sebetiniń úlkenligine qaray 34 hám 55, voki 55 hám 89, yamasa 89 hám 144
bolǵan Fibonachchi sanları juplıqların shólkemlestiriwedi. Tábiyaatda, hátte,
spirallar sanları 144 hám 233 bolǵan úlken ayǵabaǵar sebeti de
ushraydı! Ayǵabaǵar fillotaksisi hám Fibonachchi sanları arasındaǵı bul
baylanıstı birinshi bolıp E. Lyuka e 'lon etken edi.
1- mısal. Elementleri 0 hám 1 nomerlerinen ibarat bolıp, eki nomeri qasında jaylawmydigan kortejlarni qaraymız. Sonday tártipte
dúziletuǵın n uzınlıqqa iye barlıq kortejlar sanı cn Fibonachchi
qatarınıń ( n + 2 )- hadiga teńligin, yaǵnıy cn = ol n+2 teńlik orınlı
bolıwın kórsetemiz.
Onıń ushın matematikalıq induksiya usılınan paydalanaymiz.
Matematikalıq induksiya usılınıń bazası retinde /7 = 1 bolǵan holm
qaraymız. Bul halda mısal shártlerin qánaatlantıratuǵın eki ( < 0 > hám
<1>) kortejlar dúziw múmkin, yaǵnıy 0=2. Fibonachchi qatarınıń
dúzilisine tiykarlanıp /? = 1 bolǵan hoi ushın ipt, = ol w2 = m z = 2 • Sonday eken,
n 1 bolǵanda cn = un^ tastıyıq tuwrı.
Induksion ótiw: n = k bolǵanda mısal shártlerin qánaatlantiruvchi
kortejlar sanı ushın tastıyıqlanıp atırǵan teńlik orınlı bolsın, yaǵnıy
ck = ol k+2 - teńliktiń n = k + \ ushın da tuwrılıǵın kórsetemiz.
Ayqınki, uzınlıǵı n = k + \ bolǵan barlıq kortejlarni, dúzilisine kóre,
eki gruppaǵa tómendegishe ajıratıw múmkin.
Birinshi gruppaǵa talap etilgen shártler tiykarında dúzilgen hám uzınlıǵı k
ga teń kortejlarning hár birine oń tárepden 0 nomerin jaylastırıw
usılı menen payda etińan kortejlarni kiritemiz. Sol sebepli, birinshi
gruppa daǵı kortejlar sanı uzınlıǵı k ga teń kortej sanına teń. Bul jerde
induksiya boljawın esapqa alsaq birinshi gruppada uk^ ta kortejlar bar
degen juwmaqqa kelamiz.
ekinshi gruppaǵa aqırǵı elementi 1 nomerinen ibarat bolǵan
kortejlarni kiritemiz. Kortejlarni dúziwdiń mısalda talap qılınıp atırǵan
shártiga kóre ekinshi gruppa daǵı hár bir kortejda aqırǵı 1 nomerinen aldın
tek 0 nomeri jaylasıwı múmkinligi kelip shıǵadı. Sol sebepli,
ekinshi gruppa daǵı kortejlarning uzınlıǵı (k -1 ) ga teń bolǵan hám talap
etilgen shártler tiykarında dúzilgen kortejlarning hár birine oń tárepden 0,
1 nomerlerin (naǵız ózi tártipte) jaylastırıp payda etiw múmkin.
Sonday eken, induksion boljawdı esapqa alsaq, ekinshi gruppa daǵı kortejlar sanı
ufT] boladı.
12 X
Sonday etip. K-'t I uzınlıqqa iye barlıq kortejlar sanı
rtti = lh*i + uk-i- Fibonachchi qatarınıń anıqlanıwına kóre.
uh + uk, 2 = ıyt,, 3. Bul mannan cA+1 = I
2- mısal. Altın kesim júdá áyyemginen m a'ium bolǵan. Butu'sinikten áyyemgi grekler músinshilikte, suw saqlawǵa
moijallangan xum ıdıslardı yasaslula 1'oydalana biliwgen. 1854- jılda A.
Seyzing1 altın kesim túsinigin qayta " ashıp", bul túsinikti
absoh utlashtirishga urınǵan. Ol óz dóretpelerinen birinde " altın kesim
tábiyaattıń barlıq hádiyselerinde hám kórkem ónerde universal kesimdir” dep daǵaza
etken. Bunday juwmaqqa A. Seyzing tábiyaatda ushraytuǵın túrli hádiyse hám
processlerdi analiz qılıw tiykarında, atap aytqanda, qustıń máyekleri.
ósimlikiar, haywanlar, túrli dawıslar, insanlar tárepinen jaratılǵan
ımaratlar, ıdıslar, qosıqiy hám muzıkalıq dóretpeler hám basqalardı baqlaw hám
zárúr esaplawlardı orınlaw tiykarında kelgen.
S cy/ini; (ZciMiig). Adolf - olm az waqıt shayırı hám filosofi (1 810 -1 X76 ).
124
L. Seyzing eki mıńǵa jaqın adamlardıń dene oichovlarini alıp, bul
bahalar tiykarında ortasha statistikalıq bahalardı esaplaǵan. Etilgen
esaplawlarǵa kóre, er adam kisiniń deneindegi úlken oichovning kishi
ólshewge qatnası
(3-formada oichovlar pútkilden procent muǵdarda berilgen) 13:8= 1, 625,
áyeller ushın bul k o 'rsatkich 8 : 5 = 1. 6, chaqolaqlar ushın bolsa 1 :1 sıyaqlı
bolıwı anıqlanǵan. Insan balası 13 jasqa kelip bul koefficient 1, 6
bolıwı, 21 jasda bolsa proporsiya insannıń jinsiga qaray joqarıda
aytıp ótken koefficientke jaqın bo'lar eken. Bul jerdegi koefficientlerde
qatnasıp atırǵan sanlar hám insannıń jasları (13 hám 21) Fibonachchi qatcri
sanları bolıp tabıladı. a
3- mısal. Tárepi 8 birlik
kvadrattı (maydanı 64 kv. birlik) 4-
formada kórsetilgen sıyaqlı 4 bólekke (
A. V, S hám D ) ajıratıp, bul 4
bólekten formanıń ońı daǵı
figurani soǵıw múmkin. Jasalǵan
figurani úshmúyeshlik dep esaplab,
onıń maydanı esaplansa 65 kv. birlik
(dáslepki júzege qaraǵanda 1 kv.
birlik artıq!) juwap payda bolıwı
tábiyiy bolıp tabıladı. Tárepi 13 birlik kvadrat
menen de tap soǵan uqsas islerdi atqarıp, 169 kv. birlik sırtdan
168 kv. birlik (dáslepki júzege qaraǵanda 1 kv. birlik kem!) yuzani “'hosil
qılıw” múmkin. Bul jerdegi qáteni anıqlaw oqıwshına silteme etiledi1.
Sonısı qızıqki, bóleklenip atırǵan kvadrat tárepi hám bóleklashda
qatnasıp atırǵan sanlar ush izbe-iz Fibonachchi sanlarınan ibarat esaplanadi.
Tuwrısıda, yoqoridagi usıl járdeminde qálegen ush izbe-iz Fibonachchi
sanlarınan paydalanıp joqarıdagiga uqsas qálegenshe jumbaqlar dúziw
múmkin. ■