Роль и место темы "Многоугольники" в школьном курсе геометрии

Свойства параллелограмма
После введения определения параллелограмма и его признака, изучают свойства.
Свойство диагоналей параллелограмма учащиеся легко обнаружат, выполнив соответствующий рисунок.





Теорема 6.2 (обратная теореме 6.1): Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Дано: ABCD-параллелограмм,
АС и BD-диагонали.
Доказать: AC⋂BD и точкой пересечения делятся пополам.
Доказательство.

Пусть ABCD - данный параллелограмм.

BD - диагональ, точка О ее середина. Предположим, что существует точка d, такая что АО=ОС_1.
Получаем, что ABС₁D - параллелограмм (по Т.6.1).
=>BC||AD. Получили противоречие, т.к. через точку можно провести только одну прямую, параллельную данной. Значит ВС₁ совпадает с ВС.
Точно так же доказывается, что прямая DC₁ совпадает с прямой DC.
Значит, что C₁ совпадает с точкой С => ABCD совпадает с ABC₁D. Поэтому его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Ч. т.д.
Теорема 6.3: У параллелограмма противолежащие стороны равны, противолежащие углы равны.
Дано: ABCD-параллелограмм, АС и BD-диагонали, AC⋂BD=0
Доказать: AB=CD, AD=BC,

Доказать: AB=CD, AD=BC, B= D.

1. Рассмотрим ∆АОВ и ∆DOC, они равны, т.к. ОА=ОС, OB=OD (свойство диагоналей), AOB= COD (вертикальные) => AB=CD.
Равенство AD и ВС доказывается аналогично из треугольников AOD и СОВ.
2. ∆ABC=∆CDA (по III признаку равенства треугольников) AB=CD BC=DA
АС - общая, => ABC= CDA. Равенство углов BCD и DAB доказывается аналогично.
Ч. т.д.
После этого учащиеся приступают к решению задач.
Задача 1: Через точку пересечения диагоналей параллелограмма проведена прямая. Докажите, что отрезок ее, заключенный между параллельными сторонами, делятся этой точкой пополам.
Дано: ABCD-параллелограмм,
АС, BD-диагонали, AC⋂BD = 0, FE-прямая, OЄFE.
Доказать: FO=OE.

Доказательство.

ABCD:
EF⋂АВ = Е
EF⋂DC = F
∆ОАЕ = ∆OCF (по II признаку)
О А = ОС (т.к. О - середина диагонали АС)
O = О (вертикальные)
EA О = FCO (внутренние накрест лежащие при параллельных прямых АВ, CD и секущей АС)
=>ОЕ = OF.
Ч. т.д.