Samarqand davlat arxitektura-qurilish instituti abdurazakov jamshid norbutayevich doiraviy silindrik elastik qobiq va sterjenlarning nochiziqli simmetrik tebranis

Первый параграф главы посвящен линеаризации нелинейного уравнения движения цилиндрического слоя. Из приведенного выше уравнении (4) после ряда математических преобразваний с учетом соотношения (5) - (7) получено следующее нелинейное уравнение второго порядка:
(11)
где ;
.
При решении уравнения (11) использован метод малого параметра. То есть, крутильное перемещение представлено в виде следующего разложения
,
также для определенности в расчетах ограничиваются первыми двумя членами разложения. В результате, задача о крутильных колебаниях круговой цилиндрической упругой оболочки (слоя) сводится к системе двух дифференциальных однородных и неоднородных линейных уравнений второго порядка
, (12)
(13)
где ; . (14)
Общее решение уравнения (15), учитывающее ограниченность решений при и , равно
, (16)
где -модифицированные функции Бесселя; -постоянные интегрирования. Используя стандартные разложения функций Бесселя в степенные ряды, запищем (16) следующим образом
(17)
В качестве основных искомых величин принимаем, следуя профессору Х.Худойназарову, перемещения и напряжения в точках промежуточной поверхности цилиндрической оболочки, радиус которой определяется по формуле
. (18)
Полагая, и ограничиваясь в уравнении (17) в соответствии с формулой (18), введем следующие новые функции
(19)
и подставим выражения (19) в (17), тогда
(20)
Введенная функция имеет размерность смещения, а функция размерность деформации, то есть функция представляет собой смещение, а функция представляет собой деформацию.
Таким образом, решение уравнения (15) выражено через главные части , , крутильного перемещения точек промежуточной поверхности. Через эти же главные части необходимо выразить и неоднородная часть уравнения (13), т. е.
(21)
Подставив последнюю формулу преобразованную по (2) уравнение (13), получено общее решение последнего.Решение нелинейного уравнения (11) состоит из совокупности решений уравнения (12) с решением уравнения (13). Подставив полученное таким образом общее решение уравнения (11) к граничным условиям (8) и (9), получены уравнения физически нелинейных крутильных колебаний кругового цилиндрического слоя
(22)
где (23)
(24)
(25)
Полученная система уравнений (22) представляет собой систему общих уравнений нелинейных крутильных колебаний кругового цилиндрического упругого слоя.
В третьем параграфе второй главы приведены различные линейные и физически нелинейные уравнения цилиндрических оболочек и стержней, как частные и предельные случаи физически нелинейных уравнений крутильных колебаний кругового цилиндрического упругого слоя, выведенных в предыдущем разделе. В частности, ограничиваясь приближением n=1 получено новое обобщенное уравнение нелинейных колебаний кругового цилиндрического упругого слоя:

; (26)
В приведенных выше уравнениях (26), в частном случае когда , вытекают линейные уравнения крутильных колебаний круговой цилиндрической упругой оболочки, уточненные профессором Х.Худойназаровым. Если , то рассматриваемый слой превращается в круговой стержень с радиусом . Потому что, в этом случае первое уравнение системы (10) превращается в тождество. Второе уравнение после ряда преобразований принимает следующий вид:
. (27)
Частным случаем уравнения (27) является уравнение Г.Каудерера. Также, если из (27) следует линейное уравнение крутильных колебаний стержня. Если толщина стенки цилиндрической оболочки меньше одной десятой радиуса срединной поверхности, тогда можно считать, что и Тогда из уравнений (26) следуют уравнения нелинейных крутильных колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки в следующего вида:

. (28)
В четвертом параграфе главы приведены формулы, позволяющие определить напряженно-деформированное состояние в точках круговой цилиндрической упругой оболочки и стержня. В частности, при первом приближени (n=0) имеем
,
(29)

Если для решения практических задач применяются уравнения колеба-ния, соответствующие тому или иному приближению, то на основе найденных решений (значений искомых функций) по формулам, соответствующим выбранному приближению, можно однозначно определенить напряжения и перемещение.
В третьей главе диссертации «Прикладные задачи нелинейных крутильных колебаний круговых цилиндрических оболочек и стержней» на основе уравнений физически нелинейных крутильных колебаний круговых цилиндрических оболочек и стержней численно исследована задача о нели-нейных крутильных колебаниях упругого стержня под действием заданных, торцевых кинематических и поверхностных динамических нагрузок.
В первом параграфе третьей главы рассматривается задача о нелинейных крутильных колебаниях стержня, когда один конец свободен, а другой конец жестко защемлен, на поверхность которого действует сила (силы), интенсивность которой постоянная . На свободный конец кругового упругого стержня действует переменная во времени кинематическая скручивающая сила Начальные и конечные условия задачи следующие:
Поставленная задача решена численно, с помощью явной схемы метода конечных разностей. На основании полученных результатов построены зависимости от времени и продольной координаты графики крутильных перемещений и касательных напряжений (рис.2). Из построенных графиков перемещения и напряжений видно, что независимо от значений внешней силы возбуждения имеют затухающий характер, и при этом колебания точек сечений стержня начинают происходить по истечении времени, затраченного на то, чтобы возбуждения достигли рассматриваемого сечения под действием заданного кинематического удара. Наибольшие значения перемещения достигаются на левом конце стержня, практически не зависимо от величины внешней силы. Возбуждения относительно быстро затухают, достигая относительных наименьших значений до тех пор, пока не дойдут до участка стержня, соответствующего выбранному значению продольной координаты, а на следующем участке возбуждения постепенно затухают.
Во втором параграфе главы рассмотрена поставленная в первом параграфе задача о нелинейных колебаниях кручения при заданном кинематического ударе с концов кругового упругого стержня с различными линейными, Г. Каудерер, И.Г. Филиппов, а также на основе предложенных в данной диссертации уравнений были выполнены сравнительные и аналитические работы по результатам численного решения. На основании анализа был сделан следующий вывод: результаты, полученные по линейной (или классической) теории, могут быть приняты за верхнюю границу значений вихревой миграции; результаты, полученные по теории Г.Каудерера, могут быть приняты за нижнюю границу значений вихревой миграции; результаты, полученные по теории И.Г.Филиппова, практически идентичны результатам классической теории; величины, полученные в результате решения предложенного уравнения, могут быть лежит между результатами, полученными по классической и Г.Каудеровской теориям.
В третьем параграфе главы рассматривается задача о нестационарных крутильных колебаниях кругового упругого стержня, один конец которого свободен, а другой жестко защемлен. На поверхность стержня приложена сила, интенсивность которой постоянная . На свободный конец стержня действует переменная во времени крутящий момент
( время действия)
изменяющегося по экспоненциальному закону. Здесь также получены численные результаты с использованием метода конечных разностей. На основании полученных численных результатов, построены графики крутильных перемещений и касательных напряжений в зависимости от продольной координаты. Результаты сравнивались с линейными. Здесь также результаты, полученные по линейной теории, больше чем результаты, полученные по нелинейной теории. Например, для наибольших амплитуд перемещения эта разница составляет в среднем 30%. Следовательно, разлница результатов по линейной и нелинейной теориям зависит от характера силывозбуждающей нестационарные колебания (рис.3).
В четвертом параграфе главы рассматривается задача о физически нелинейных крутильных колебаниях тонкостенной цилиндрической консольной оболочки с одним жестко зашемленным концом, под воздействием заданного кинематического удара по свободноноу концу. Поставленная задача решена численно, и результаты приведены на рис.4 и рис.5 в виде графиков. При расчетах для материала (стали) круговой цилиндрической оболочки были приняты значения . Геометрические размеры выбраны следующим образом - ; ; ;

Графики зависимостей от времени изменений крутильного перемещения и напряжений при заданном значении внешней силы в различных сечениях оболочки и точках стержня и зависимости от координат крутильных перемещений и напряжений при различных значениях времени и при постоянной внешней силы носят затухающий характер и происходят по синусоидальному закону.