Самостоятельная работа №1 Электромагнитные волны. Дифференциальное уравнение электромагнитных волн. Утаев Диёр Ташкент-2022

Эффект Доплера для электромагнитных волн
Пусть в некоторой инерциальной системе отсчета К распространяется плоская электромагнитная волна. Фаза волны имеет вид:

(2.108)

Наблюдатель в другой инерциальной системе отсчета К', движущейся относительно первой со скоростью V вдоль оси x, также наблюдает эту волну, но пользуется другими координатами и временем: t', r'. Связь между системами отсчета дается преобразованиями Лоренца:

(2.109)

Подставим эти выражения в выражение для фазы  , чтобы получить фазу   волны в движущейся системе отсчета:

(2.110)

Это выражение можно записать как

(2.111)

где   и  — циклическая частота и волновой вектор относительно движущейся системы отсчета. Сравнивая с (2.110), находим преобразования Лоренца для частоты и волнового вектора:

(2.112)

Для электромагнитной волны в вакууме

Пусть направление распространения волны составляет в первой системе отсчета угол  с осью х:

Тогда выражение для частоты волны в движущейся системе отсчета принимает вид:

(2.113)

Это и есть формула Доплера для электромагнитных волн.
Если  , то наблюдатель удаляется от источника излучения и воспринимаемая им частота волны уменьшается:

(2.114)

Если , то наблюдатель приближается к источнику и частота излучения для него увеличивается:

(2.115)

При скоростях V << с можно пренебречь отклонением квадратного корня в знаменателях от единицы, и мы приходим к формулам, аналогичным формулам (2.85) для эффекта Доплера в звуковой волне.
Отметим существенную особенность эффекта Доплера для электромагнитной волны. Скорость движущейся системы отсчета играет здесь роль относительной скорости наблюдателя и источника. Полученные формулы автоматически удовлетворяют принципу относительности Эйнштейна, и с помощью экспериментов невозможно установить, что именно движется — источник или наблюдатель. Это связано с тем, что для электромагнитных волн отсутствует среда (эфир), которая играла бы ту же роль, что и воздух для звуковой волны.
Заметим также, что для электромагнитных волн имеет место поперечный эффект Доплера. При частота излучения изменяется:

(2.116)

в то время как для звуковых волн движение в направлении, ортогональном распространению волны, не приводило к сдвигу частот. Этот эффект прямо связан с релятивистским замедлением времени в движущейся системе отсчета: наблюдатель на ракете видит увеличение частоты излучения или, в общем случае, ускорение всех процессов, происходящих на Земле.
Найдем теперь фазовую скорость волны

в движущейся системе отсчета. Имеем из преобразований Лоренца для волнового вектора:

(2.117)

Подставим сюда соотношение:

(2.118)

Получаем:

(2.119)

Отсюда находим скорость волны в движущейся системе отсчета:

(3.120)

Мы обнаружили, что скорость волны в движущейся системе отсчета не изменилась и по-прежнему равна скорости света с. Отметим всё же, что, при корректных выкладках, это не могло не получиться, так как инвариантность скорости света (электромагнитных волн) в вакууме есть основной постулат теории относительности уже «заложенный» в использованные нами преобразования Лоренца для координат и времени (3.109).