Самостоятельная работа-5 Студент: 3 курс Группа: ки-12-20(С)(Р)

VaR и методики бэк-тестинга.

Математически VaR представляет собой такую количественную величину, которую превышают убытки от инвестирования с заданной вероятностью α на определенном временном горизонте:

где Rt — случайная величина, характеризующая результат инвестирования;
P — вероятность наступления события.

Используя данное равенство, величину VaR можно определить в явном виде следующим образом:

где r — доходность финансового актива;
— функция обратного вероятностного распределения результатов инвестирования.

Очевидно, что для вычисления показателя VaR необходимо иметь представление о вероятностном распределении результатов инвестирования (например, о распределении доходности исследуемой ценной бумаги или портфеля). Множество финансовых моделей базируются на предположении, что доходность активов распределена нормально. Однако эмпирические тесты опровергают эту гипотезу — реальные потери возникают чаще и оказываются выше по сравнению со значениями, предсказанными такими моделями. Для устранения данного несоответствия меры риска VaR зачастую строятся на основе предположения, что исследуемые величины имеют t-распределение либо используются модифицированные модели с условной авторегрессионной гетероскедастичностью (ARCH / GARCH). Однако для получения исторического VaR не делается никаких предпосылок о форме теоретического распределения, а квантили оцениваются на основе эмпирического распределения (рис. 1).

Уровень (лимит) VaR может быть рассчитан как для отдельного актива (например, акции), так и для портфеля активов. Для оценки стоимостной меры риска портфеля требуется агрегация данных по значениям VaR для каждого актива.

В литературе описаны три основных направления оценки VaR — историческая симуляция (historical simulation), параметрические методы (parametric VaR) и метод Монте-Карло. Исторический VaR основан на использовании ранее наблюдавшихся результатов инвестирования и на эмпирическом вероятностном распределении доходности анализируемого актива (портфеля). Параметрический VaR базируется на предпосылке о знании формы теоретического распределения, наилучшим образом описывающего имеющиеся данные. Наконец, в методе Монте-Карло симулируется случайный процесс, описывающий динамику доходности.

Изучение параметрического VaR и VaR на основе метода Монте-Карло выходит за рамки нашего исследования. Мы сопоставляем различные модели VaR, которые строятся на основе прошлых данных (историческая симуляция). Отчасти это связано с логичностью и простотой данного направления, а также с его высокой популярностью в коммерческих и инвестиционных банках. Так, из 60 крупнейших международных, американских, европейских и канадских банков 73% используют метод исторической симуляции для получения значений (лимитов) VaR.

Точность прогнозов VaR в рамках используемых методов может быть оценена при помощи анализа числа так называемых пробоев — случаев, когда реализованный убыток инвестирования превысил расчетный лимит VaR. Для этого используется следующая функция, характеризующая наличие / отсутствие пробоя лимита VaR в момент времени:

Кристофферсен сформулировал два необходимых условия, которым должна отвечать оценка лимитов VaR (соответственно, и модель для оценки VaR):

1) UC-гипотеза (Unconditional Coverage Hypothesis): вероятность ex post превышения убытков величины VaR должна быть равна вероятностному уровню VaR α (следует из определения VaR):

в случае нарушения данного принципа величина VaR систематически недооценивает или переоценивает риск:

2) IND-гипотеза (Independence Hypothesis), в которой предполагается независимость пробоев, когда It и Is являются независимо распределенными, т.е.:

где It и Is — индикаторные функции пробоя и суперпробоя;
t — момент наступления пробоя;
s — момент наступления суперпробоя;
a, b — некоторые константы из множества 0 и 1 (используются в формуле для указания на независимость одной индикаторной функции от другой, т.е. вероятность принятия одной функцией любого возможного значения (a) не зависит от принятия другой функцией любого возможного значения (b)).

Невыполнение IND-гипотезы может приводить к возникновению эффекта кластерности, когда могут иметь место периоды пробоев, чередующиеся с периодами их отсутствия. Таким образом, даже при выполнении UC-гипотезы модель с отвергнутой IND-гипотезой может давать неверные прогнозы, вызванные зависимостью случайных величин It и Is, t ≠ s.

Мы при тестировании исходим из того, что расчетная оценка VaR должна удовлетворять обоим критериям (UC и IND), при нарушении хотя бы одного условия она должна быть признана неверной (неадекватной поставленной задаче риск-менеджмента).