Самостоятельная работа по предмету: дополнительные главы теории вероятностей на тему: " "

Теорема Чебышева. Пусть случайные величины^, Хъ---, Хк попарно независимы и существует число С такое, что D(X,) < С при всех i = 1, 2, ..., к. Тогда для любого положительного ? выполнено неравенство

Доказательство. Рассмотрим случайные величины Yk=X1 + + Х2+..., + Xk и Zk = Yi/k. Тогда согласно утверждению 10

Из свойств математического ожидания следует, что M(Zk) = = М(Yk)/k, а из свойств дисперсии — что Z)(Z*) = D(Yk)/k². Таким образом,

Из условия теоремы Чебышева, что

Применим к Zk второе неравенство Чебышева. Получим для стоящей в левой части неравенства (11) вероятности оценку

что и требовалось доказать.
Эта теорема получена П.Л. Чебышевым в той же работе 1867 г. «О средних величинах», что и неравенства Чебышева.
Пример 13. Пусть С = 1, е = 0,1. При каких к правая часть неравенства (11) не превосходит 0,1? 0,05? 0,00001?

В рассматриваемом случае правая часть неравенства (11) равно 100/1:. Она не превосходит 0,1, если к не меньше 1000, не превосходит 0,05, если к не меньше 2000, не превосходит 0,00001, если к не меньше 10 000 000.

Правая часть неравенства (11), а вместе с ней и левая, при возрастании к и фиксированных Сие убывает, приближаясь к 0. Следовательно, вероятность того, что среднее арифметическое независимых случайных величин отличается от своего математического ожидания менее чем на е, приближается к 1 при возрастании числа случайных величин, причем при любом е. Это утверждение называют ЗАКОНОМ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
Наиболее важен для вероятностно-статистических методов принятия решений (и для математической статистики в целом) случай, когда все X, , i = 1, 2, ..., имеют одно и то же математическое ожидание М(Х) и одну и ту же дисперсию о² = D(X). В качестве замены (оценки) неизвестного исследователю математического ожидания используют выборочное среднее арифметическое

Из закона больших чисел следует, что X при увеличении числа опытов (испытаний, измерений) сколь угодно близко приближается к М(Х0; это записывают так: 
Здесь знак  означает «сходимость по вероятности».
Понятие «сходимость по вероятности» отличается от понятия «переход к пределу» в математическом анализе. Последовательность Ь_п имеет предел b при п —> °°, если для любого сколь угодно малого 8 > 0 существует число и(8) такое, что при любом п > п(8) справедливо утверждение: Ь„ е (Ь - 8 ; b + 8). При использовании понятия «сходимость по вероятности» элементы последовательности предполагаются случайными, вводится еще одно сколь угодно малое число ? > 0 и утверждение Ь„ е (Ь - 8 ; b + 8) предполагается выполненным не наверняка, а с вероятностью не менее 1 - ?.