Самостоятельная работа по предмету: Микропроцессорные управления электро механических систем. Тема: Расчет переходных процессов методом численного интегрирования в matlab

Syms x, y, z
где: x, y, z – символьные переменные.
Для нахождения решения кратных интегралов необходимо произвести интегрирование результата, полученного от предыдущего значения интеграла.
При решении ряда математических задач часто встречаются интегралы с первообразной, которая не может быть выражена через элементарные функции (не существует аналитического решения), является слишком сложной, или задана в неявном виде, например, в табличной форме или в виде матрицы. В указанных случаях необходимо использовать методы численного интегрирования для решения соответствующих интегралов.
Под численным интегрированием понимают совокупность различных численных методов нахождения значения определённого интеграла. Основная идея большинства методов численного интегрирования состоит в замене подынтегральной функции на более простую функцию, интеграл от которой легко вычисляется аналитически. При замене подынтегральной функции на полином нулевой, первой и второй степени получаются соответственно методы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона). Часто формулы для оценки значения интеграла называют квадратурными формулами.
Одним из наиболее распространенных методов реализации численного интегрирования является метод построения интегральных квадратурных формул для равномерных сеток, известный как формулы Котеса. Основной идеей метода является замена подынтегральной функции каким-либо интерполяционным многочленом. Вычисление определенного интеграла можно представить в виде:

где: числа H_i называются коэффициентами Котеса и вычисляются как интегралы от соответствующих многочленов, стоящих в исходном интерполяционном многочлене для подынтегральной функции при значении функции в узле
x_i=a+i∙h; h=(b−a)/N
h – шагсетки; N – число узлов сетки; i– индекс узлов. Слагаемое r_N(f)определяет погрешность метода, которая может быть найдена разными способами. Для нечетных N≥1 погрешность может быть найдена интегрированием погрешности интерполяционного полинома подынтегральной функции. Частными случаями формул Котеса являются: формулы прямоугольников (n=0), формулы трапеций (n=1), формула Симпсона (n=2), формула Ньютона-Котеса более высоких порядков (n≥3).
В системе MATLAB вычисление интегралов реализовано численными методами трапеций, парабол (Симпсона) и метод Ньютона-Котеса.
Формула трапеций имеет следующий вид:

где:у₀– значение подынтегральной функции при х=а; у_n– значение подынтегральной функции при х=b; h– шаг интегрирования.
Численное интегрирование в среде MATLAB на основе применения метода трапеций реализовано с помощью функций cumtrapz и trapz.
Функция cumtrapz выполняет интегрирование с накоплением по методу трапеций. Выходным параметром этой функции является вектор промежуточных вычислений, состоящий из N элементов, где N– число интервалов разбиения диапазона интегрирования функции. Значение последнего элемента вектора определяет итоговое значение интеграла.
Отличие функции trapz от функции cumtrapz состоит в том, что осуществляется простое интегрирование без накопления, то есть выходной параметр функции trapz представляет собой общее значение интеграла.
Функции trapz и cumtrapz имеют одинаковый синтаксис и имеют две формы записи: