Санкт-петербург-москва краснодар

§ 2.8. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛКАХ ОТ НЕПОДВИЖНОЙ НАГРУЗКИ
Порядок расчета многопролетных шарнирных балок покажем на частном примере балки, приведенной на рис. 2.39 а. На рис. 2.39 б показана схема взаимодействия элементов этой балки.
Расчет балки начинаем с определения опорных реакций. В первую оче­редь следует определить реакции подвесных элементов АШ\ и Д/г-О, так

62

Глава 2


как для расчета основного элемента ZZ/1ZZ/2 необходимо знать числовые
величины давлений от подвесных элементов в шарнирах Ш\ и ZZ/2.
Элемент АШ\ (рис. 2.39в)
Из уравнения
= Rao-i - Pi(a + ai) = О
получаем „ Pi(a + _ai)
Ra =


а\
Реакция шарнира Ш\ (положительным считаем направление ее снизу вверх) может быть найдена из уравнения


= —Ru]_lai — Р\а = О,


откуда р_1а
Ruh = •
а\
Знак минус означает, что реакция Кш_г направлена в обратную сторону, т. е. сверху вниз.
Давление Уш₁ на основной элемент ВС в шарнире Ш\ численно рав­но, но противоположно по направлению реакции Кш_г (т. е. действует снизу вверх).
Элемент ZZ/2P (рис. 2.39 <Э)
Ввиду симметрии нагрузки реакции Дд/₂ и Rn равны между собой:
Дд/₂ =Rd =
Давление Ущ₂ на основной элемент Ш\Ш₂ в шарнире Ш₂ по числовой величине равно реакции Дд/₂, но направлено в обратную сторону, т. е. вниз.
Элемент ZZ/iZZ/₂ (рис. 2.39г)
Кроме нагрузок Р₂ и q\ к элементу ZZ/1ZZ/2 необходимо приложить у концов консолей ранее найденные давления Ущ₁ и Уд/₂.
Реакцию Rb найдем из уравнения
1²
М_с = Reh ~ Рг(в2 + h) + Уш_г (а₂ +h) - qi~^ + V[n₂^az = 0;
откуда „ ,2
(Рг - У_Шг)(а₂ + 1 ) + qi -f — Vm₂a₃
Rb — ; •
h
Аналогичным путем из уравнения Mb = 0 находим реакцию Rc.

Балки

63


Правильность определения реакций необходимо проверить, например, с помощью уравнения Y = 0. Для данного случая это уравнение имеет
Ra + Rb + Rc + Rd — qil'2 — q2^a4 ~ Pi ~ P'2 ⁼ 0.
После определения опорных реакций можно перейти к построению эпюры изгибающих моментов.
Напомним, что на тех участках, к которым внешняя нагрузка непосред­ственно не приложена, эпюра изгибающих моментов имеет прямолинейное очертание.
Элемент АШ₁ (рпс. 2.39в)
Под силой Pi п в шарнире Ш\ изгибающие моменты равны нулю; в точке А момент Ма = —Р\а. Этого достаточно для построения эпюры моментов для элемента АШ\ (рпс. 2.39, е).
Элемент Ш₂В (рпс. 2.39д)
В пределах элемента Ш₂В эпюра моментов ограничена квадратной параболой с максимальной ординатой
м -
1 max ₀
о
в середине элемента и нулевыми ординатами на концах.
Элемент Ш\Ш₂ (рпс. 2.39 г)
Изгибающие моменты над опорами В и С равны
Мв = {Уш_г ~ р2)а₂ п Me = -V_u].₂a₃.
Момент Мв может быть положительным плп отрицательным в зави­симости от знака разности Ущ₁ — Р₂.
Построив по значениям М_в п Мс эпюру моментов в пределах кон­солей элемента Ш\Ш₂, проведем линию, соединяющую опорные моменты (пунктир на рпс. 2.39, е), п построим на ней параболу, представляющую эпюру моментов в свободно лежащей однопролетной балке от сплошной нагрузки qi. Наибольшая ордината этой параболы равна
М -
^2 max — ₀ • о
В середине пролета ВС эпюра моментов может быть положительной плп отрицательной в зависимости от соотношения моментов Мв, Мс п М_{2 тах}.
Поперечная сила Q вычисляется как сумма проекций на вертикальную ось всех сил, расположенных по одну сторону от данного сечения*.


*Если проекция равнодействующей внешних сил на нормаль к оси бруса направлена
вверх (или правых сил — вниз), то поперечная сила считается положительной.

62

Г лава 2


как для расчета основного элемента Ш\Ш-2 необходимо знать числовые
величины давлений от подвесных элементов в шарнирах Ш\ п Ш-2.
Элемент АШ\ (рпс. 2.39в)
Из уравнения
Мщ_г = Rao- 1 - -Pi(а + сч) = О
получаем Pi(« + «i)
Ra =


a i
Реакция шарнира Ш\ (положительным считаем направление ее снизу вверх) может быть найдена пз уравнения


Е Мл = —Ruh «1 — Р\а = О,


откуда р_1а
Ruh = •
a i
Знак минус означает, что реакция Rm₁ направлена в обратную сторону,
т. е. сверху вниз.
Давление Уш_х ^на основной элемент ВС в шарнире Ш\ численно рав-
но, но противоположно по направлению реакции Кщ₁ (т. е. действует
снизу вверх).
Элемент UI2F) (рпс. 2.39д)
Ввиду симметрии нагрузки реакции Яш₂ ¹¹ Rd равны между собой:
Riu₂ =Rd = Ц¹-
Давление Ущ, на основной элемент Ш1Ш2 в шарнире Ш2 по числовой
величине равно реакции Дд/₂, но направлено в обратную сторону, т. е.
вниз.
Элемент Ш\Ш₂ (рпс. 2.39г)
Кроме нагрузок Р2 п q\ к элементу Ш1Ш2 необходимо приложить у
концов консолей ранее найденные давления Ущ₁ п Vm₂.
Реакцию Rb найдем пз уравнения
I'²
Е Me = R_Bh ~ Р-2(а-2 + h) + Уш_г (а-2 +I2) ~ qi + У_ш.₂а₃ = О,
откуда
Rb


(Р2 - Уш₁) («2 + I²) + qi-f - Уш₂«з


h
Аналогичным путем пз уравнения ^ Мв = 0 находим реакцию Rc.

Балки

63


Правильность определения реакций необходимо проверить, например, с помощью уравнения Y = 0. Для данного случая это уравнение имеет
Ra + Rb + Rc + Rd ~ Q1I2 ~ 42^a4 ~ Pi ~ P2 = 0.
После определения опорных реакций можно перейти к построению эпюры изгибающих моментов.
Напомним, что на тех участках, к которым внешняя нагрузка непосред­ственно не приложена, эпюра изгибающих моментов имеет прямолинейное очертание.
Элемент АШ₁ (рис. 2.39в)
Под силой Pi и в шарнире Ш\ изгибающие моменты равны нулю; в точке А момент Ма = —Р\а. Этого достаточно для построения эпюры моментов для элемента АШ\ (рис. 2.39, е).
Элемент LU₂D (рис. 2.39д)
В пределах элемента Ш₂В эпюра моментов ограничена квадратной параболой с максимальной ординатой
М ^g2fl4
¹1 max — ₀ о
в середине элемента и нулевыми ординатами на концах.
Элемент Ш^Ш₂ (рис. 2.39 г)
Изгибающие моменты над опорами В и С равны
М_в = (Ущ₁ ~ Рг)в2 и М_с = -Ущ₂аз.
Момент Мв может быть положительным или отрицательным в зави­симости от знака разности Ущ₁ — Р₂.
Построив по значениям М_в и Мс эпюру моментов в пределах кон­солей элемента ZZ/i/Z/2, проведем линию, соединяющую опорные моменты (пунктир на рис. 2.39, е), и построим на ней параболу, представляющую эпюру моментов в свободно лежащей однопролетной балке от сплошной нагрузки qi. Наибольшая ордината этой параболы равна
м -SlU
-^2 max — ₀ • о
В середине пролета ВС эпюра моментов может быть положительной или отрицательной в зависимости от соотношения моментов Мв, Мс и М₂ max •
Поперечная сила Q вычисляется как сумма проекций на вертикальную ось всех сил, расположенных по одну сторону от данного сечения*.


*Если проекция равнодействующей внешних сил на нормаль к оси бруса направлена
вверх (или правых сил — вниз), то поперечная сила считается положительной.

64

Глава 2


Заметим, что найденные в каждом шарнире равные и противоположные силы Дд/ и Уц] в сумме всегда дают нуль, а потому наличие в балке шар­нира не вызывает скачка в эпюре Q. В рассматриваемом примере скачок в шарнире Ш\ вызван тем, что там приложена сосредоточенная сила Р₂.
Передвигаясь слева направо и суммируя последовательно внешние нагрузки и реакции, получим эпюру поперечных сил, изображенную на рис. 2.39, ж.
Подобным же образом (расчленением на однопролетные простые бал­ки) может быть рассчитана любая многопролетная шарнирная статически определимая балка.
Между эпюрами М и Q существует определенная зависимость. Попе­речная сила является первой производной от изгибающего момента по длине балки: ^jц
^ dx ’
следовательно, она равна тангенсу угла наклона, составляемого касатель­ной к эпюре М с осью балки.
Если эпюра моментов построена со стороны растянутого волокна, т. е. положительные моменты отложены вниз, то участкам с восходящими (сле­ва направо) ординатами эпюры М соответствуют участки с отрицатель­ными Q, а участкам с нисходящими ординатами эпюры М — участки с положительными Q. Чем круче касательная к эпюре моментов, тем боль­ше абсолютное значение Q. В тех сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент имеет max или min.
Между сосредоточенными силами (если между ними отсутствует сплош­ная нагрузка) эпюра М ограничена прямой (в общем случае наклонной) линией, а эпюра Q —прямой горизонтальной линией. На тех участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра М ограничена параболой (второй степени), а эпюра Q — наклонной прямой.
Точкам приложения сосредоточенных сил соответствуют переломы в эпюре М и скачки в эпюре Q. Если сила направлена вниз, то и скачок в эпюре Q должен быть вниз (при перемещении слева направо); если сила направлена вверх, то и скачок должен быть вверх.
На рис. 2.40 показаны схемы нескольких статически неопределимых неразрезных балок. Читателю предлагается дать несколько вариантов установки шарниров в каждой балке для получения статически определи­мых неизменяемых систем. Читателю предлагается также рассчитать бал­ку, изображенную на рис. 2.41 (построить для нее эпюры М и Q), и опре­делить, при какой длине консолей 1\ моменты в серединах трех средних пролетов балки, изображенной на рис. 2.42, будут равны друг другу.




Балки


65


. 3 м


3 м


/°1=10кН


д= ЗкН/м


3 м


5м


Рис. 2.40


Рис. 2.41


Мч U¹*! ? JA-I U¹»!


Рис. 2.42