Санкт-петербург-москва краснодар

§ 2.9. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ
ДЛЯ МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
Доказанное в § 2.4 положение о прямолинейности лпнпп влияния между
узлами (при узловой передаче нагрузки) можно распространить п на мно-
гопролетные статически определимые балки. Рассмотрим ряд конкретных
примеров.
Пусть требуется построить
лпнпп влияния опорных реакций
Ra, Rb и Rc для балки АС,
изображенной на рпс. 2.43 а.
Элемент CD этой балки од-
ним концом опирается на по-
движную опору С, а другим шар-
нирно связан с концом D кон-
сольной балки AD. Когда груз
находится на балке CD, его дав-
ление распределяется между точ-
ками D п С также, как для про-
стой балки с пролетом 1₂. При
расположении же груза на кон-
сольной балке AD в точки D

64

Г лава 2


Заметим, что найденные в каждом шарнире равные п противоположные силы Кш п Vm в сумме всегда дают нуль, а потому наличие в балке шар­нира не вызывает скачка в эпюре Q. В рассматриваемом примере скачок в шарнире Ш\ вызван тем, что там приложена сосредоточенная сила Р₂.
Передвигаясь слева направо п суммируя последовательно внешние нагрузки п реакции, получим эпюру поперечных сил, изображенную на рпс. 2.39, ж.
Подобным же образом (расчленением на однопролетные простые бал­ки) может быть рассчитана любая многопролетная шарнирная статически определимая балка.
Между эпюрами М п Q существует определенная зависимость. Попе­речная сила является первой производной от изгибающего момента по длине балки:
^ dx
следовательно, она равна тангенсу угла наклона, составляемого касатель­ной к эпюре М с осью балки.
Если эпюра моментов построена со стороны растянутого волокна, т. е. положительные моменты отложены вниз, то участкам с восходящими (сле­ва направо) ординатами эпюры М соответствуют участки с отрицатель­ными Q, а участкам с нисходящими ординатами эпюры М — участки с положительными Q. Чем круче касательная к эпюре моментов, тем боль­ше абсолютное значение Q. В тех сечениях, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент имеет max плп min.
Между сосредоточенными силами (если между нпмп отсутствует сплош­ная нагрузка) эпюра М ограничена прямой (в общем случае наклонной) линией, а эпюра Q —прямой горизонтальной линией. На тех участках, где приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра М ограничена параболой (второй степени), а эпюра Q — наклонной прямой.
Точкам приложения сосредоточенных сил соответствуют переломы в эпюре М п скачкп в эпюре Q. Если сила направлена вниз, то п скачок в эпюре Q должен быть вниз (при перемещении слева направо); если сила направлена вверх, то п скачок должен быть вверх.
На рпс. 2.40 показаны схемы нескольких статически неопределимых неразрезных балок. Читателю предлагается дать несколько вариантов установки шарниров в каждой балке для получения статически определи­мых неизменяемых систем. Читателю предлагается также рассчитать бал­ку, изображенную на рпс. 2.41 (построить для нее эпюры М п Q ), п опре­делить, при какой длине консолей 1\ моменты в серединах трех средних пролетов балки, изображенной на рпс. 2.42, будут равны друг другу.




Балки


65


si? si si


. 3 м


3 м


/°1=10 кН


q= ЗкН/м


3 м


5m


Puc. 2.40


Puc. 2.41


M¹»! UM ? JA-I U¹»!


Puc. 2.42


§ 2.9. ЛИНИИ ВЛИЯНИЯ УСИЛИЙ
ДЛЯ МНОГОПРОЛЕТНЫХ СТАТИЧЕСКИ
ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК
Доказанное в § 2.4 положение о прямолинейности линии влияния между
узлами (при узловой передаче нагрузки) можно распространить и на мно-
гопролетные статически определимые балки. Рассмотрим ряд конкретных
примеров.
Пусть требуется построить
линии влияния опорных реакций
Ra, Rb и Rc для балки АС,
изображенной на рис. 2.43 а.
Элемент CD этой балки од-
ним концом опирается на по-
движную опору С, а другим шар-
нирно связан с концом D кон-
сольной балки AD. Когда груз
находится на балке CD, его дав-
ление распределяется между точ-
ками D и С так же, как для про-
стой балки с пролетом 1₂. При
расположении же груза на кон-
сольной балке AD в точки D

66

Глава 2


и С давление не передается. Поэтому линия влияния реакции С будет иметь вид, изображенный на рис. 2.43 в.
Построим теперь линию влияния опорной реакции Ra . Заметим, что пока груз Р = 1 движется по балке AD, линия влияния реакции Ra строится так, как это было показано для консольной балки. Когда груз Р = 1 находится в точке D, опорная реакция направлена вниз и достигает своего наибольшего отрицательного значения. При движении груза Р = 1 по балке DC в шарнир D будет передаваться давление 1 • х/1₂, т. е. такое же, какое передавалось бы в этот шарнир при узловой передаче нагрузки на участке DC (см. рис. 2.43 6). Следовательно, линия влияния Ra на участке DC представляет собой как бы передаточную прямую.
Линия влияния опорной реакции Ra дана на рис. 2.43 г. На рис. 2.43 д показана линия влияния опорной реакции Rg.
Рассмотрим построение линий влияния поперечной силы для сечений / и II системы, изображенной на рис. 2.44 а.
Поперечная сила в сечении / получается отличной от нуля лишь в том случае, когда груз Р = 1 располагается между узлами 1 я 3. Если груз Р = 1 расположен над узлом 2, то он полностью передается на консоль балки и поперечная сила в сечении / равна —1. При передвижении гру­за влево или вправо давление, передаваемое на узел 2, будет убывать и, наконец, при расположении груза в точках 1 и 3 обратится в нуль. Так как давление, передаваемое в точку 2, меняется прямо пропорционально расстоянию груза от точки 1 или 3, то соответствующая линия влияния представится в виде треугольника с ординатой под сечением /, равной —1 (рис. 2.44 6).


а)


б)


л. 6. а.


Л.дМ,


Ra


hb


^10


ь 0


Рис. 2.44

Балки

67


Поперечная сила в сеченпп II, когда груз Р = 1 расположен на участке 2—5 плп 6—10, будет такой же, как п при непосредственной передаче на­грузки. В соответствии с этим на рпс. 2.44 в проведены наклонные лпнпп ас\ п С2&, отсекающие на опорных вертикалях, совпадающих с реакция­ми Ra п Rb , отрезки, равные единице. На участке 5—6 линия влияния должна быть также прямой. Ее узловые ординаты /г₅ п he уже получе­ны в результате предыдущего построения; остается провести передаточ­ную прямую с-2, соединяющую вершины полученных ординат. Переходя к крайним вспомогательным балочкам 1—2 п 10—11, заметим, что когда груз Р = 1 стоит в точках 2 плп 10, его влияние на искомую поперечную силу определяется ординатой /г₂ плп /гю.
При расположении груза в точках 1 плп 11 давление целиком переда­ется на фундамент, а на балку вовсе не действует. Следовательно, здесь ординаты искомой лпнпп влияния обращаются в нуль. Так как любое уси­лие при движении нагрузки между соседними узлами меняется по закону прямой, соединяющей концы ординат под этими узлами, то на участках 1 — 2 п 10—11 для получения лпнпп влияния Qu необходимо соединить пря­мыми нулевую точку под узлом 1 с вершиной а ординаты /г₂ н вершину b ординаты /гю с нулевой точкой Ь' (рпс. 2.44в).
Читателю предлагается проверить правильность построения линий влияния, изображенных на рпс. 2.45, 2.46 п 2.47.


а)


б)


Л. В.


г)


Л. В

66

Г лава 2


п С давление не передается. Поэтому линия влияния реакции С будет иметь вид, изображенный на рпс. 2.43 в.
Построим теперь линию влияния опорной реакции Ra . Заметим, что пока груз Р = 1 движется по балке AD, линия влияния реакции Ra строится так, как это было показано для консольной балки. Когда груз Р = 1 находится в точке D, опорная реакция направлена вниз п достигает своего наибольшего отрицательного значения. При движении груза Р = 1 по балке DC в шарнир D будет передаваться давление 1 • х/1-2, т. е. такое же, какое передавалось бы в этот шарнир при узловой передаче нагрузки на участке DC (см. рпс. 2.43 6). Следовательно, линия влияния Ra на участке DC представляет собой как бы передаточную прямую.
Линия влияния опорной реакции Ra дана на рпс. 2.43 г. На рпс. 2.43 д показана линия влияния опорной реакции Rg.
Рассмотрим построение линий влияния поперечной силы для сечений / п II системы, изображенной на рпс. 2.44 а.
Поперечная сила в сеченпп / получается отличной от нуля лишь в том случае, когда груз Р = 1 располагается между узлами 1 п 3. Если груз Р = 1 расположен над узлом 2, то он полностью передается на консоль балки п поперечная сила в сеченпп / равна —1. При передвижении гру­за влево плп вправо давление, передаваемое на узел 2, будет убывать п, наконец, при расположении груза в точках 1 и 3 обратится в нуль. Так как давление, передаваемое в точку 2, меняется прямо пропорционально расстоянию груза от точки 1 плп 3, то соответствующая линия влияния представится в виде треугольника с ординатой под сечением /, равной —1 (рпс. 2.44 6).





Рис. 2.44

Балки

67


Поперечная сила в сечении 11, когда груз Р = 1 расположен на участке 2—5 или 6—10, будет такой же, как и при непосредственной передаче на­грузки. В соответствии с этим на рис. 2.44 в проведены наклонные линии ас 1 я с₂Ъ, отсекающие на опорных вертикалях, совпадающих с реакция­ми Ra и Rb , отрезки, равные единице. На участке 5—6 линия влияния должна быть также прямой. Ее узловые ординаты h₅ и he уже получе­ны в результате предыдущего построения; остается провести передаточ­ную прямую с\с₂, соединяющую вершины полученных ординат. Переходя к крайним вспомогательным балочкам 1—2 и 10—11, заметим, что когда груз Р = 1 стоит в точках 2 или 10, его влияние на искомую поперечную силу определяется ординатой h₂ или hw.
При расположении груза в точках 1 или 11 давление целиком переда­ется на фундамент, а на балку вовсе не действует. Следовательно, здесь ординаты искомой линии влияния обращаются в нуль. Так как любое уси­лие при движении нагрузки между соседними узлами меняется по закону прямой, соединяющей концы ординат под этими узлами, то на участках 1 — 2 и 10—11 для получения линии влияния Q\\ необходимо соединить пря­мыми нулевую точку под узлом 1 с вершиной а ординаты h₂ и вершину b ординаты Ию с нулевой точкой Ь' (рис. 2.44 в).
Читателю предлагается проверить правильность построения линий влияния, изображенных на рис. 2.45, 2.46 и 2.47.


а)


б)


Л. в.


г)


Л. В.

68

Глава 2





а)


б)


Л.61_А


Л.д.Яо
г)
Л.Ь.М„
д)
л.в.м_к


Ra


<в,
г


1 Г?


V/
2


^гттаТТК


Рис. 2.47

Балки

69