Санкт-петербург-москва краснодар

§ 2.11. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ В БАЛКАХ
КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Построение линий влияния кинемати-
ческим методом основано на исполь-
зовании принципа возможных пере-
мещений, изучаемого в курсе тео-
ретической механики. Напомним его
формулировку: если система на-
ходится в равновесии, то сум-
ма работ всех сил на любых воз-
можных перемещениях равна ну-
лю. Возможные перемещения — бес-
конечно малые перемещения, допус-
каемые связями. Возможные переме-
щения направлены по касательной к действительной траектории (рис. 2.52).
Рассмотрим балку, изображенную на рис. 2.53 а, и построим для нее линию влияния опорной реакции R_B. Для построения этой линии влияния отбросим связь, соответствующую реакции Rg, и обозначим усилие в этой


Действительная
траектория
Рис. 2.52


'Возможная
траектория




Балки


73


связи через А" (рпс. 2.52 6). Так как балка является системой статиче-
ски определимой, то после отбрасывания одной связи она превратится в
механизм с одной степенью свободы. Зададим этому механизму возмож-
ное перемещение, показанное на рпс. 2.53 б. Это возможное перемещение
определяется одним параметром, так как получаемый после отбрасывания
связи механизм имеет одну степень свободы. Будем задавать возможное
перемещение таким образом, чтобы сила А" совершала положительную
работу (перемещение А_х совпадает с направлением силы А").
В соответствии с прин-
ципом возможных пере-
мещений имеем
1-Др+АД* = 0, (2.15)
откуда
А = -^. (2.16)
^X
В числителе формулы
для определения А" сто-
ит перемещение по на-
правлению силы Р = 1,
числовая величина кото-
рого зависит от положе-
ния силы. Если сила про-
бегает всю балку, то А_р
есть совокупность пере-
мещений всех точек балки
по вертикали, а следова-
тельно, изображенное на
рпс. 2.53 б возможное пе-
ремещение и есть эпюра А_р. Эта эпюра имеет знак минус, так как пе-
ремещения происходят навстречу силе Р. Разделив все ординаты этой
эпюры на Д_ж и изменив знак на противоположный в соответствии с фор-
мулой (2.16), получим линию влияния, изображенную на рпс. 2.53 в. После
изменения знака ординаты лпнпп влияния откладываются в ту же сторо-
ну, что п ординаты эпюры А_р, так как положительные ординаты лпнпп
влияния откладываются вверх. Обратим внимание на то, что в месте при-
ложения силы А" ордината лпнпп влияния равна единице, так как в этом
случае [см. формулу (2.16)]


Ар = -А_х.


а)


б)


Р= 1


Л.Ь.Йв


г)


Л


Id


-4^-


Ra
Эпюра Д₀


Эп А


‘.о
р = 1.


А о


Re


А,


д)


Л.В.Р_А


4/3


Рис. 2.53

72

Г лава 2


⁰⁾ а/2 \^Р


г)


О./2


\<Р


б)





Р = да


Рис. 2.51


Р\=Ч1


е)





ь


§ 2.11. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИЙ ВЛИЯНИЯ В БАЛКАХ
КИНЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Построение лпнпп влияния кинемати-
ческим методом основано на исполь-
зовании принципа возможных пере-
мещении, изучаемого в курсе тео-
ретической механики. Напомним его
формулировку: если система на-
ходится в равновесии, то сум-
ма работ всех сил на любых воз-
можных перемещениях равна ну-
лю. Возможные перемещения — бес-
конечно малые перемещения, допус-
каемые связями. Возможные переме-
щения направлены по касательной к действительной траектории (рпс. 2.52).
Рассмотрим балку, изображенную на рпс. 2.53 а, п построим для нее линию влияния опорной реакции R_B. Для построения этой лпнпп влияния отбросим связь, соответствующую реакции Rg, и обозначим усилие в этой


Действительная
траектория
Рис. 2.52


-Возможная
траектория

^ ш < ЗгУ ^	* ] V: ^d >	w d
Ra Эпюра Ар	Рв 'LA* !i i и (	Jltk,
Ж	< X if	Ш. 4/3 1W
Эп Ар
т * ш, ТШТШТПтптг^

Рис. 2.53

74

Глава 2


Итак, для построения линии влияния кинематическим методом необходимо:

1. 
   отбросить связь, линию влияния усилия в которой необходимо по­строить, заменив ее действие силой X;
   
2. 
   задать полученному механизму возможное перемещение таким об­разом, чтобы сила X совершала положительную работу, в результате чего получим эпюру возможных перемещений А_р;
   
3. 
   деля все ординаты эпюры А_р на А_х, получим линию влияния ис­комого усилия. При этом ординаты линии влияния откладываются в ту же сторону, что и эпюра А_р, но знаки меняются на противоположные.
   

В соответствии с этими пунктами на рис. 2.53 г, д построены эпюра А_р и линия влияния опорной реакции Ra .


а)


1


Р = 1





г)


Л.Ь.Р_А ■


S


Эп. Д,


р


д)


X \Р = 1 \ {


е)


Л.Ь.Ма-


Рис. 2.54


Рассмотрим далее консоль-
ную балку, изображенную на
рис. 2.54 а. Построим в этой бал-
ке линию влияния опорной ре-
акции Ra. Заделка препятству-
ет трем перемещениям — поворо-
ту, горизонтальному и вертикаль-
ному перемещениям. Необходимо
устранить связь, соответствую-
щую вертикальному перемеще-
нию, и сохранить остальные связи.
Поэтому в отличие от предыдущей
задачи необходимо схематизиро-
вать жесткое закрепление так,
как это показано на рис. 2.54 6.
Горизонтальные стержни препят-
ствуют повороту и горизонталь-
ному перемещению, а вертикаль-
ный — вертикальному перемеще-
нию. Отбрасывая вертикальную
связь, получим механизм с од-
ной степенью свободы, далее, в
построим линию влияния Ra,


соответствии с приведенными пунктами, изображенную на рис. 2.54 г.
Для построения линии влияния момента врежем в точке А шарнир и моментную связь заменим моментом X. Отличием данной задачи явля­ется то, что перемещение А_х является углом поворота. Поступая ана­логично предыдущему, построим линию влияния момента, изображенную

Балки

75


на рпс. 2.54, е. Обратим внимание на то, что если в формуле (2.16) поло-
жить А_х = 1, то А" = —Ар. Таким образом, линия влияния совпадает
с эпюрой возможных перемещений, если задать возможное перемещение
так, что А_ж = 1, при этом силу А" надо направить так, чтобы она совер-
шала положительную работу, при этом эпюра А_р п линия влияния будут
отложены в одну сторону.
Далее рассмотрим про-
цесс построения линий вли-
яния внутренних сил. На
рпс. 2.55 а изображена мно-
гошарнпрная балка, требует-
ся построить лпнпп влияния
поперечной силы п момента
в сеченпп 1—1. Для построе-
ния лпнпп влияния попереч-
ной силы используем схему,
изображенную на рпс. 2.55 б.
После отбрасывания связи,
соответствующей попереч-
ной силе, приложим иско-
мые силы А" таким обра-
зом, чтобы они совпадали
с положительным направ-
лением поперечных сил
(см. § 2.1). Отлпчпе в пос-
троении линий влияния вну-
тренних сил от линий влия-
ния опорных реакций состо-
ит в том, что необходимо прикладывать не одну силу, а две. Одна пз сил
представляет действие правой части балки на левую, а другая — на-
оборот. В данном случае перемещение по направлению левой силы А"
равно нулю. Зададим единичное возможное перемещение по направле-
нию силы А" (А_ж = 1) так, чтобы работа силы А" была положительна
(рпс. 2.55 6). Полученная таким образом эпюра А/ совпадает с лини-
ей влияния (рпс. 2.55в). Аналогично строится п линия влияния момента
(рпс. 2.55г,д).
Построим для балки, показанной на рпс. 2.56 а, линию влияния попе­речной силы Qi-i. Отбрасывая связь, соответствующую поперечной силе, приложим силы А" в соответствии с положительным направлением попе­речной силы. Зададим полученному механизму возможное перемещение.


а)


I


d
б) *3п Д₀


d I d


Д, = 1


мж


Д/7


л. в. а


ФШНПТрг^


г) Зп Д₀


Д\ = 1


'©1


д)
л.в.м-


Рис. 2.55

74

Г лава 2


Итак, для построения лпнпп влияния кинематическим методом необходимо:

1. 
   отбросить связь, линию влияния усилия в которой необходимо по­строить, заменив ее действие силой А";
   
2. 
   задать полученному механизму возможное перемещение таким об­разом, чтобы сила А" совершала положительную работу, в результате чего получим эпюру возможных перемещений А_р;
   
3. 
   деля все ординаты эпюры А_р на А_х, получим линию влияния ис­комого усилия. При этом ординаты лпнпп влияния откладываются в ту же сторону, что п эпюра А_р, но знаки меняются на противоположные.
   

В соответствии с этими пунктами на рпс. 2.53 г, д построены эпюра А_р п линия влияния опорной реакции Ra .


а)


1


Р = 1





г)


Л.ВМ_А ■


S


Эп. Л,


■О


д)


X \Р = 1 \ {


е)


Л В Ма ■


Рис. 2.54


Рассмотрим далее консоль-
ную балку, изображенную на
рпс. 2.54 а. Построим в этой бал-
ке линию влияния опорной ре-
акции Ra. Заделка препятству-
ет трем перемещениям — поворо-
ту, горизонтальному п вертикаль-
ному перемещениям. Необходимо
устранить связь, соответствую-
щую вертикальному перемеще-
нию, п сохранить остальные связи.
Поэтому в отлпчпе от предыдущей
задачи необходимо схематизиро-
вать жесткое закрепление так,
как это показано на рпс. 2.54 6.
Горизонтальные стержни препят-
ствуют повороту п горизонталь-
ному перемещению, а вертикаль-
ный — вертикальному перемеще-
нию. Отбрасывая вертикальную
связь, получим механизм с од-
ной степенью свободы, далее, в
построим линию влияния Ra,


соответствии с приведенными пунктами, изображенную на рпс. 2.54 г.
Для построения лпнпп влияния момента врежем в точке А шарнир н моментную связь заменим моментом А". Отлпчнем данной задачи явля­ется то, что перемещение Д_ж является углом поворота. Поступая ана­логично предыдущему, построим линию влияния момента, изображенную

Балки

75


на рис. 2.54, е. Обратим внимание на то, что если в формуле (2.16) поло-
жить А_х = 1, то X = —А_р. Таким образом, линия влияния совпадает
с эпюрой возможных перемещений, если задать возможное перемещение
так, что А_х = 1, при этом силу X надо направить так, чтобы она совер-
шала положительную работу, при этом эпюра А_р и линия влияния будут
отложены в одну сторону.
Далее рассмотрим про-
цесс построения линий вли-
яния внутренних сил. На
рис. 2.55 а изображена мно-
гошарнирная балка, требует-
ся построить линии влияния
поперечной силы и момента
в сечении 1—1. Для построе-
ния линии влияния попереч-
ной силы используем схему,
изображенную на рис. 2.55 б.
После отбрасывания связи,
соответствующей попереч-
ной силе, приложим иско-
мые силы X таким обра-
зом, чтобы они совпадали
с положительным направ-
лением поперечных сил
(см. § 2.1). Отличие в пос-
троении линий влияния вну-
тренних сил от линий влия-
ния опорных реакций состо-
ит в том, что необходимо прикладывать не одну силу, а две. Одна из сил
представляет действие правой части балки на левую, а другая — на-
оборот. В данном случае перемещение по направлению левой силы X
равно нулю. Зададим единичное возможное перемещение по направле-
нию силы X (А_х = 1) так, чтобы работа силы X была положительна
(рис. 2.55 б). Полученная таким образом эпюра А/ совпадает с лини-
ей влияния (рис. 2.55 в). Аналогично строится и линия влияния момента
(рис. 2.55 г, д).
Построим для балки, показанной на рис. 2.56 а, линию влияния попе­речной силы Qi-i. Отбрасывая связь, соответствующую поперечной силе, приложим силы X в соответствии с положительным направлением попе­речной силы. Зададим полученному механизму возможное перемещение.


а)


I


d
б) *Эп А_р


т
d I d


А, = 1


ШЖ


А о


Л.6М-


11 ■


ФШНПТрг^


г) Зп А„


.Аг = 1


'©1


©,


д)
Л.6.М-


Рис. 2.55

76

Глава 2


В отличие от примера, приведенного на рис. 2.55 6, в данном случае про­исходит перемещение как по направлению левой силы (А?,,), так и по на­правлению правой (Д") и суммарное перемещение Д_ж = А'_х + Д" должно


а)


1


Р = 1


2d





быть равным единице. Для
построения линии влияния в
этом случае используем вспо-
могательный прием. Разобьем
балку на три диска I, II, III и
введем диск земли IV. Циф-
рами на рис. 2.56 б обозначе-
ны полюса вращения одного
диска относительно другого.
Обратим внимание на то, что
точка (i,j) должна одновре-
менно принадлежать и *-му
диску и j -му. Временно возь-
мем в качестве неподвижного
диск / и совместим его с гори-
зонталью (рис. 2.56 в). Диск
II должен перемещаться па-
раллельно диску I, что со-
ответствует связям, следова-
тельно, он должен занимать
горизонтальное положение и
отстоять от диска / на едини-
цу. На диске / находится по-
люс (1.4), а на диске II — по-
люс (2.4), следовательно, для
диска IV известно положе-
ние двух его точек. Соединяя
эти точки, получим положе-
ние диска IV. Далее находим
положение диска III [прямая,
соединяющая полюса (2.3) и
(3.4)]. Откладывая ординаты,
показанные на рис. 2.56 в от
горизонтали, получим линию влияния Qi-\. Вычислим ее характерные
ординаты. В соответствии с рис. 2.56 в, имеем
1





tga =


3d'

Балки

77


Вычислим оа, оЪ и ос (рпс. 2.56г):


оа = d tg а = —;





_ ^оЪ _ ^{2 1 tg/} “ 2d ~ 3-2d ~ 3d’ ос = dt.g/З =


Аналогично строится п линия влияния момента для сечения /—/ (рпс. 2.56 (Э—ж). Обратим внимание на то, что при использовании кинема­тического метода лпнпп влияния внутренних сил строятся непосредствен­но, минуя построение лпнпп влияния опорных реакций.




76


Г лава 2





В отличие от примера, приведенного на рис. 2.55 6, в данном случае про­исходит перемещение как по направлению левой силы (Д^. ), так п по на­правлению правой ( Д" ) п суммарное перемещение Д_ж = А'_х + Д" должно


д) Зп. Л₀


быть равным единице. Для
построения лпнпп влияния в
этом случае используем вспо-
могательный прием. Разобьем
балку на три диска I, II, III п
введем диск земли IV. Циф-
рами на рис. 2.566 обозначе-
ны полюса вращения одного
диска относительно другого.
Обратим внимание на то, что
точка (i,j) должна одновре-
менно принадлежать п *-му
диску п j -му. Временно возь-
мем в качестве неподвижного
диск / п совместим его с гори-
зонталью (рис. 2.56в). Диск
II должен перемещаться па-
раллельно диску /, что со-
ответствует связям, следова-
тельно, он должен занимать
горизонтальное положение п
отстоять от диска / на едини-
цу. На диске / находится по-
люс (1.4), а на диске II — по-
люс {2.4), следовательно, для
диска IV известно положе-
ние двух его точек. Соединяя
эти точки, получим положе-
ние диска IV. Далее находим
положение диска III [прямая,
'’чиянипи*'' соединяющая полюса (2.3) п
[3.4)\. Откладывая ординаты, Рис. 2.56 показанные на рис. 2.56в от
горизонтали, получим линию влияния Qi-i. Вычислим ее характерные ординаты. В соответствии с рис. 2.56 в, имеем
^,go = h

Балки

77


Вычислим оа, оЪ и ос (рис. 2.56 г):


оа = dtg а = —;





Я - ^оЬ - ^{2 1 tg}^ 2d ~ 3-2d ~ 3d’


ос = dtg/? =
Аналогично строится и линия влияния момента для сечения /—/ (рис. 2.56 д—ж). Обратим внимание на то, что при использовании кинема­тического метода линии влияния внутренних сил строятся непосредствен­но, минуя построение линий влияния опорных реакций.

Глава 3

ТРЕХШАРНИРНЫЕ АРКИ И РАМЫ