Сборник задач по дискретной математике. Учебное пособие. Москва: Наука

Mantiq algebrasidagi monoton funksiyalar

Tartiblash. 0<1 munosabati orqali {0,1} to‘plamini tartiblashtiramiz. va qiymatlar satrlari bo‘lsin.
1- ta’rif. Agar tengsizlik hech bo‘lmaganda bitta uchun bajarilsa yoki va qiymatlar satrlari ustma-ust tushsa, u holda qiymatlar satri qiymatlar satridan oldin keladi deb aytamiz va shaklda yozamiz.
2- ta’rif. Agar munosabatdan tengsizlikning bajarilishi kelib chiqsa, u holda funksiya monoton funksiya deb ataladi.
3- ta’rif Agar munosabatdan tengsizlikning bajarilishi kelib chiqsa, u holda nomonoton funksiya deb ataladi.
Asosiy elementar mantiqiy funksiyalardan 0, 1, , , funksiyalar monoton, , , , funksiyalar esa nomonoton funksiyalardir.
1- teorema. Monoton funksiyalarning superpozitsiyasidan hosil qilingan funksiya ham monoton funksiya bo‘ladi.
Isboti. monoton funksiyalar sistemasi bo‘lsin. Shu sistemadagi funksiyalar superpozitsiyasidan hosil qilingan funksiya monoton bo‘lishini isbot qilish kerak. Matematik induksiya usulini qo‘llaymiz. Baza: 0 rangli superpozitsiya uchun bu tasdiqning to‘g‘riligi ravshan, chunki sistemadagi hamma funksiyalar monoton funksiyalardir.
Induksion o‘tish. rangli superpozitsiya uchun teoremadagi tasdiq to‘g‘ri bo‘lsin. Bu tasdiqning rangli superpozitsiya uchun ham to‘g‘riligini isbotlaymiz.
bo‘lsin. U holda
;


funksiyalarning monoton ekanligini isbotlash kerak. Bu yerda va o‘zgaruvchilar o‘zgaruvchilarning birortasi bilan mos kelishi mumkin. funksiyaning monotonligidan funksiyaning monoton funksiya ekanligi kelib chiqadi. funksiyaning monotonligini isbotlaymiz. Buning uchun funksiyaning ikkita va taqqoslanadigan qiymatlar satrini ko‘rib chiqamiz:
;

va bo‘lsin. U holda bo‘lishini ko‘rsatish kerak. Ma’lumki,
, bu yerda bo‘lganda , ;
, bu yerda bo‘lganda , .
monoton funksiya va munosabatdan kelib chiqqani uchun

bo‘ladi, ya’ni , chunki monoton funksiyadir.

ekanligidan rangli superpozitsiya uchun teoremadagi tasdiq isbotlandi. ■
Kon’yunksiya va diz’yunksiya monoton funksiya bo‘lganligi uchun, 1- teoremaga asosan, ularning superpozitsiyasidan hosil qilingan funksiya ham monoton bo‘ladi.