Середины сторон произвольного четырёхугольника являются
Download 0.52 Mb. Pdf ko'rish
|
Задача 25 ОГЭ. Теорема Вариньона.
- Bu sahifa navigatsiya:
- Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.
|
Теорема Вариньона Материалы подготовила Пикунова У.А. МАОУ «МЛ №1» Четырёхугольник, вершины которого совпадают с серединами сторон произвольного четырехугольника , является параллелограммом, стороны которого параллельны диагоналям исходного четырёхугольника. или сокращённо Середины сторон произвольного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. Параллелограмм, образованный серединами сторон, иногда называется вариньоновским или вариньоновым . 1.Центр параллелограмма Вариньона лежит на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма). 2.Периметр параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника. 3.Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника. 4.Для прямоугольника и равнобедренной трапеции параллелограммом Вариньона является ромб, а для ромба — прямоугольник. Следствия Другие следствия теоремы Вариньона . 3.Площадь четырехугольника равна произведению первой и второй средней линии и синуса угла между ними. 2.Все три средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. 4.Сумма квадратов трех средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей: 1.Пусть G, H, I, J – середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а E, F – середины его диагоналей. Назовем три отрезка GH, IJ, EF соответственно первой, второй и третьей средними линиями четырёхугольника. Четырёхугольники EHFG, JEIG тоже являются параллелограммами. Если исходный четырехугольник - параллелограмм, то его третья средняя линия вырождается в точку (в точку пересечения его диагоналей), а первая и вторая его средние линии пересекаются в точке пересечения его диагоналей. В этой точке две его диагонали и две его средние линии делятся пополам. Задача Решение: 1. В треугольнике ADB, НЕ-средняя линия. Ее длина равна половине DB, НЕ=2‚5. Отрезки ,соединяющие середины сторон четырехугольника, есть диагонали параллелограмма . Они равны 4 и 3 по условию. Тогда G0=OЕ=2‚ HO=OF=1,5. 3.Треугольник (GОF-прямоугольный ) . Диагонали HG и FE перпендикулярны. 4.Площадь параллелограмма, диагонали которого перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. S=(4*3)/2=6 5.Площадь исходного четырехугольника в два раза больше площади параллелограмма HGFE и равна 12. 2. НGFЕ-параллелограмм по теореме Вариньона. Площадь параллелограмма равна половине площади данного четырехугольника. Второй способ нахождения площади параллелограмма. Найти площадь треугольника GOF по формуле Герона. Все четыре треугольника GOF,FOE,EOH,HOG равновеликие. Площадь параллелограмма в четыре раза больше площади треугольника GOF. А площадь четырехугольника в два раза больше площади параллелограмма. Ответ: 12 Download 0.52 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|