Севрюков, П., & Смоляков, А. Н. (2008). Тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Ставрополь

1. Trigonometrik tenglamalarni yechishda vektorlarning skalyar ko'paytmasidan foydalanish.
Ma'lumki, 2 ta vektorning skalyar ko'paytmasi ularning uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinusi ko'paytmasiga teng. .

Agar vektorlar koordinatalari bilan berilgan bo'Isa, ya'ni va bo'Isa, .
1-misol. tenglamani yeching.
Yechish: va vektorlarni kiritamiz.
U holda
Demak,


Berilgan tenglamani ko'rinishda yozish mumkin. Bu tenglik vektorlar orasidagi burchak bo'Iganda bajariladi. Demak, vektorlar parallel, parallel vektorlar mos kordinatalari proporsional
va bir hil ishorali


Dastlabki tenglamaga ko'ra va .

(11) va (12) sistemalarning ixtiyoriy yechimi (10) tenglamaning yechimi ekanligini oson ko'rish mumkin. Natijada (10) tenlama (11) va (12) tenglamalar sistemasi majmuasiga teng kuchli. Bu sistemalarni yechamiz.
(11) sistemaning birinchi tenglamasidan .
Bularning hammasi bu sistemaning ikkinchi tenglamasini qanoatlantiradi va (11) sistemaning yechimi bo'ladi. (12) sistemaning birinchi tenglamasi yechimga ega.
Bu sonlardan birortasi bu sistemaning ikkinchi tenglamasini qanoatlantirmaydi. Shuning uchun (12) sistema yechimga ega emas. Demak, berilgan (10) tenglamaning yechimi (11) sistemaning yechimi bilan ustma - ust tushadi.

2. Sonli tengsizliklardan fodalanish.
Ba'zi hollarda biror sonli tengsizlikni tenglamaning biror qismiga qo'llab, tenglamani teng kuchli sistemaga almashtirish mumkin. Bunday tengsizliklarga misol qilib ikkita musbat va sonlarning o'rta arifmetigi va o'rta geometrigi orasidagi bog'lanishni olamiz, tenglik belgisi da o'rinli.
Ko'p hollarda quyidagi tengsizliklarning natijasidan foydalanish qulay

9-misol.
(13) tenglamani yeching.
Yechish: Ixtiyoriy musbat va sonlari uchun (14) tengsizlik o'rinli ekanini isbotlaymiz. Avval va sonlari uchun, keyin va sonlari uchun o'rta arifmetik va o'rta geometrik orasidagi tengsizlikni qo'llab va ni hosil qilamiz.

(13) tenglamaning aniqlanish sohasida bo'lgani uchun
(14) tengsizlikni qo'llab (13) tenglamaning chap qismi 4 dan kichik emasligini ko'ramiz. Shu bilan birga (13) tenglamaning aniqlanish sohasida .
Natijada (13) tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli. Ixtiyoriy uchun bo'lgani uchun (6) tenglama quyidagi sistemaga teng kuchli

(7) sistema quyidagi tenglamalar sistemasi majmuasiga teng kuchli.

Birinchi sistemaning yechimi , ikkinchi sistemaning yechimi . Hamma bu yechimlar berilgan tenglamaning yechimi bo ladi.

III. Sinus va kosinus funksiyalar xossalaridan foydalanish.
Ko'pgina trigonometrik tenglamalarni yechish tenglamalar sistemasini yechishga keltirilishi mumkin. Bunday tenglamalarga misol qilib quyidagi tenglamalami keltirish mumkin.

bunda berilgan haqiqiy sonlar, va - berilgan natural sonlar. Bunday tenglamalarni yechishda sinusning quyidagi xossasidan foydalaniladi: agar biror soni uchun qat'iy tengsizlik o'rinli bo'lsa,u holda soni (9) tenglamalardan birortasining ham yechimi bo"lmaydi. Xuddi shuningdek


tenglamalarni yechishda kosinus xossasidan foydalaniladi: agar biror soni uchun qat'iy tengsizlik o'rinli bo'lsa, u holda soni bu tenglamalardan birortasining ham yechimi bo Imaydi.
8-misol.
(10) tenglamani yeching.
Yechish: Agar tenglamaning yechimi bo* sa, u holda yo yoki bo"ladi. Haqiqatan ham agar bo"lsa (10) tenglamadan bo"lishi kerak edi, ammo bu bo'lishi mumkin emas. Agar bo* lsa (10) tenglamadan ekanligi, agar bo'lsa, ekanligi kelib chiqadi. Natijada (10) tenglamaning ixtiyoriy yechimi quyidagi 2 ta sistemalardan birining yechimi bo'ladi.

Bundan va bo'lgani uchun tenglama yechimga ega emas.
.
4-misol. Tenglamani yeching.
Yechish: Shartga ko'ra va .
U holda va bo ladi. Bu erdan yechim .
5-misol. (2) tenglamani yeching.

Yechish: Ko'rinib turibdiki tenglamaning yechimi bo'ladi. Uning qolgan yechimlarini topish uchun funksiyaning toqligidan sohadagi yechimini topish yetarli. Agar uning yechimi bo "Isa, u holda ham uning

tenglamani ko'rinishda yozamiz. oraliqda funksiya faqat manfiy qiymatlar qabul qiladi. funksiya esa musbat qiymatlar qabul qiladi. Demak, bu oraliqda (2) tenglama yechimga ega emas.

bo'Isin. Bu oraliqdagi ning har bir qiymatida funksiya musbat, funksiya esa har xil ishorali qiymatlar qabul qiladi. (1;2] oraliqda funksiya musbat emas. Demak, (1;2] oraliqda (2) tenglama yechimga ega emas.
Agar bo'lsa, u holda . Bundan oraliqda ham (2) tenglama yechimga ega emas. Demak, faqat va lar berilgan tenglama yechimidir.

6-misol.
(3) tenglamani yeching.
Yechish: (3) tenglama barcha haqiqiy lar uchun aniqlangan. Ixtiyoriy uchun .
Natijada (3) tenglama quyidagi tenglamalar sistemasiga teng kuchli.

(4) sistema 2-tenglamasining yechimi va . Bu qiymatlardan 1-tenglamani faqat qanoatlantiradi. Demak, berilgan tenglamaning yagona yechimi ekan.
.
7-misol. (5) tenglamani yeching.
Yechish: bo'lgani uchun (5) tenglamani quyidagi ko'rinishda yozamiz yoki