Sh. Soliyev Qo‘qon dpi, fizika-matrematika fanlari nomzodi,"matematika-infomatika" kafedrasi dosenti 1-mavzu. Ratsional kasrlar

8-ta’rif. ekvivalent munosabat yordamida hosil qilingan juftliklar to’plamining ixtiyoriy sinfi ratsional kasr deyiladi va ko’rinishda belgilanadi.
Endi maydonda halqa bilan izomorf bo’lgan halqa mavjudligini ko’rsatamiz. Bu yerda halqaning har bir elementi shu halqa ikkita elementining nisbatidan iborat bo’lishi kerak.
Boshqacha ayttganda, maydon elementlari orasidan ko’rinishga ega bo’lgan elementlar to’plamini deb belgilaymiz.
ni ko’rsatish uchun ning elementiga ning elementini mos qo’yamiz. Bu moslik o’zaro bir qiymatli bo’lib, bu moslik elementlarini qo’shish va ko’paytirishda ham saqlanadi.
Haqiqatan,
a).
b).
c). .
Shunday qilib, ko’rinishdagi kasrlarga teng kasrlar sinfi maydonda halqaga izomorf qism halqa tashkil qiladi.
Agar bo’lsa, kasrlarga teng kasrlar sinfi kasrlarga teng kasrlar sinfiga teskari bo’ladi.

Tenglikdan maydonning barcha elementlarini halqadagi ko’phadlar nisbati deyish mumkin.
Ixtiyoriy P maydon ustida ratsional kasrlar maydonini tuzdik. Ko’phadlar halqasi o’rniga butun sonlar halqasini olsak, o’sha usul bilan sonlar maydonini tuzish mumkin. Bu ikkita holni birlashtirib, har qanday butunlik sohasi biror maydonning qism halqasi bo’ladi degan tasdiqni hosil qilamiz.
Eslatma. Bir necha o’zgaruvchili ko’phadlarning ratsional kasrlari to’plami ham maydon bo’ladi va halqa maydonning qusm to’plami bo’ladi. Bu tasdiqning isboti huddi yuqoridagi kabi usulda bajariladi.
2-mavzu.
Uchinchi darajali algebraik tenglamalarni yechish.
kompleks sonlar maydoni ustidagi uchinchi darajali tenglamaning ikki tomonini bosh koeffitsiyentga bo‘lsak, uning shakli
(1)
ko‘rinishga keladi.
(1) tenglamani yechish usuli quyidagicha. Tenglamada
(2)
almashtirishni bajarib, ushbuni hosil qilamiz:
, (3)
bunda
, (4)
Normal shakldagi (3) tenglamani yechish uchun:
(5)
deymiz, bu erda va yangi noma’lumlar. (5) ni (3) ga qo‘yamiz: , bundan
. (6)
Endi, va noma’lumlarni shunday aniqlaymizki,
yoki (7)
bajariladigan bo‘lsin. Bu vaqtda (6) va (7) lardan
, (8)
kelib chiqadi. Elementar algebradan ma’lum bo‘lgan Viyet formulalariga asosan va lar ushbu

kvadrat tenglamaning ildizlarini ifodalaydi. Bu tenglamani yechib, quyidagini topamiz:
va
bundan, (5) ga ko‘ra
(9)
(9) ifoda Kardano formulasi deb ataladi. Bu formula ikkita ildizning yig‘indisidan iborat. Har bir ildiz uchta qiymatga ega bo‘lganidan, y uchun 6 ta qiymat hosil bo‘ladi. Ammo, uchinchi darajali (3) tenglama faqat uchta ildizga ega. Bu uchta ildizni quyidagicha hosil qilamiz. Avvalo
(*)
ildizning uchta qiymatini topib so‘ngra ning mos qiymatlarini (7) dan aniqlaymiz. Natijada, (3) tenglamaning uchta , , ildizi kelib chiqadi.
Ma’lumki ning uchta qiymatini hosil qilish uchun, uning bitta qiymatini ning uchta
, ,
qimatiga ko‘paytiriladi: , , . Bu holda (7) ga binoan ning mos qiymatlari:
; ;
bo‘ladi. Demak, (3) tenglamaning ildizlari:
, ,
ko‘rinishni oladi. Bunga va larning qiymatlarini qo‘yib, ushbuga kelamiz:
,
,
.
Bularga va (2) ga asosan, (1) tenglamaning ildizlari

(10) bo‘ladi.

Misol. tenglamani yeching. Bunda bo‘lib, (4)ga va (*)ga asosan topamiz:

.
Demak, ni olsak, bo‘ladi. Demak, (10) ga muvofiq ushbuni hosil qilamiz: