Sh. Soliyev Qo‘qon dpi, fizika-matrematika fanlari nomzodi,"matematika-infomatika" kafedrasi dosenti 1-mavzu. Ratsional kasrlar

Isboti. va umumiy haqiqiy ildizga ega bo’lmagani uchun shunday kichik oraliqni olish mumkinki, u oraliqda ning ildizi bo’lmaydi, ning esa bittagina ildizi bo’ladi.
ko’phadning karrali haqiqiy ildizlari bo’lmagani uchun qiymatdan o’tishda ko’phad o’z ishorasini o’zgartiradi. Bunda quyidagi faqat ikki hol yuz berishi mumkin: oraliqda hosila yo manfiy, yoki musbatdir. Masalan, deylik. Bu olingan oraliqda ko’phadning o’sishini ko’rsatadi. Demak, manfiy qiymatlardan musbat qiymatlarga o’tadi.
Aytilgan oraliq bilan chegaralanib, ishoralarning ushbu jadvalini tuzamiz:

			Ishora almashishlar soni
	–	+	1ta
	+	+	0ta

Demak, va orasida avval bitta ishora almashinish mavjud bo’lsa, ildizdan o’tgandan keyin u almashinish yo’qoladi.

holda ham xuddi shunday natijaga kelamiz (faqat bu vaqtda ko’phad kamayuvchi bo’ladi).
Shturm teoremasi (Ko'phad haqiqiy ildizlari soni haqidagi tеorеma). ko’phad karrali ildizlarga ega bo’lmasin va haqiqiy sonlar ning ildizlari bo’lmasin. U holda ni dan gacha o’zgartirganda uchun tuzilgan Shturm qatorida nechta ishora almashinishlar yo’qolsa, ning oraliqda xuddi shuncha haqiqiy ildizi mavjud bo’ladi.
Isboti. Haqiqatan ham, o’sa borib Shturm qatoridagi oraliq ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa ham, yoki o’tmasa ham bu qatordagi ishora almashinishlar soni o’zgarmaydi (3-xossaga asosan).
Agar o’sa borib, ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa, va orasida, va demak, butun Shturm qatorida bitta ishora almashinish yo’qoladi(4-xossaga muvofiq).
Shunday qilib, ni dan gacha o’zgartirganda Shturm qatorida nechta ishora almashinish yo’qolsa, ko’phadning oraliqda xuddi shuncha haqiqiy ildizi mavjud bo’ladi. oraliqning biror chegarasida ba’zi oraliq ko’phadlar nolga teng bo’lib qolsa, Shturm qatoridagi ishora almashinishlar sonini hisoblashda bunday nolga teng ko’phadlarni e’tiborga olmaslik mumkin. Haqiqatan, qiymatda desak, va sonlar qarama-qarshi ishoralarga ega bo’ladi. Shu sababli ning ishorasini qanday deb hisoblamaylik, sonlar bitta ishora almashinishni tashkil etadi.