Sh. Soliyev Qo‘qon dpi, fizika-matrematika fanlari nomzodi,"matematika-infomatika" kafedrasi dosenti 1-mavzu. Ratsional kasrlar

3-teorema. Har qanday butunlik sohasini o’z ichiga oluvchi kommutativ maydon mavjud.
Isboti. Teoremani ko’phadlar halqasi uchun isbotlaymiz. Bir noma’lumli ko’phadlarnin halqasi butunlik soxasi ekanligi bizga ma’lum. Shuning uchun kelgusida faqat ko’phadlar halqasi to’g’risida so’z yuritamiz. halqani o’z ichiga oluvchi maydonni ko’rish uchun bo’lgandagi tartiblangan
Juftliklar to’plamini qaraymiz. Bu juftliklarning biror to’plami maydon bo’lishi uchun ularni qanday qoidalar asosida qo’shish va ko’paytirishni bilishimiz kerak. Bu qoidalarni biz quyidagicha kiritamiz;

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

Juftliklarning yuqoridagi usulda kiritilgan taqqoslash qoidasi refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’ladi.
Haqiqatan,
a) chunki bo’ladi;
b) chunki kommutativ bo’lgani uchun va 1-shartga asosan
c)
1) shartga ko’ra v) bog’lanishning chap tomonini quyidagicha yozish mumkin:
Birinchi tenglikning ikkala qismini ga ikkinchi tenglikning ikkala qismini ga ko’paytirsak, va tengliklarga ega bo’lamiz. Demak, butunlik sohasi bo’lgani uchun bu tenglikni kabi yozish mumkin. Bu tenglikni 1) qoidaga asosan kabi yozamiz. Endi juftlikni qo’shish va ko’paytirish amallari bir qiymatli ekanligini ko’rsatamiz:



Bu taqqoslarni mos ravishda
(10)
kabi yozish mumkin. Endi


tengliklardagi juftliklarni juftliklar bilan almashtirmiz. Unda


tengliklar hosil boladi. Bu tengliklarga asosan, ikkita teng juftlikning yig’indisi va ko’paytmasi taqqoslanar ekan, ya’ni

Biz bu tengliklardan birinchisini tekshiramiz. Buning uchun uning chap tomonidagi qavslarni ochsak,

Agar (10) tengliklardan foydalansak, uni

kabi yozish mumkin. Bu tenglikning o’ng tomoni (11) ning o’ng tomonidan iborat. (12) tenglikni tekshirishni o’quvchiga tavsiya qilamiz.
Endi bu juftliklar maydon aksiomalarini qanoatlantirishini ko’rsatamiz.

1. 
   
   

(qo’shish kommutativ);

2. 
   (ko’paytirish kommutativ);
   
3. 
   
   

(qo’shish assotsiativ).
Ko’paytirish amalining assotsiativligi ham shu usulda tekshiriladi. Bu to’plam ko’rinishdagi nol elementga ega bo’lib, bo’ladi. Haqiqatan,

ni 1-shartga asosan

ko’rinishda yoza olamiz. Demak,

bo’lgani uchun juftlik juftlik uchun qarama-qarshi element bo’ladi. Bu to’plamning birlik elementi juftlikdan iborat. Haqiqatan, To’plamda birlik element bo’lgani sababli elementi uchun teskari element ham mavjud bo’lib, u dan iborat. Chunki

Ko’paytirish amalining qo’shishga nisbatan distributivligini ham ko’rsatish mumkin. Buni o’quvchiga tavsiya qilamiz. Demak, juftliklarning to’plami kommutativ maydon bo’lar ekan.
Biz yuqoridagi juftliklar uchun kiritilgan munosabat refleksivlik, simmetrik va tranzitivlik xossalarga ega ekanligini ko’rsatdik. Ma’lumki, agar biror munosabat refleksiv, simmetrik va tranzitiv bo’lsa, bunday munosabat ekvivalentlik munosabati deyilar edi.
Ekvivalent munosabati juftliklar to’plamini ekvivalentlik sinflariga ajratadi.