Shahrisabz shahar pedagogika instituti xt 105 guruh talabasi shodiyona tursunpulatova tekislikdagi to'g'ri chiziq tenglamasi. To'g'ri chiziqning yo'nalish vektori

Nima uchun bu usul yaxshi? Birinchidan, u yanada oqlangan. Ikkinchidan, yechim jarayonida biz faqat duch tenglamalar ularni hal qilish ancha oson.
Javob:
\ (a = 1 \)
4-topshiriq N3909
Topshiriq darajasi: USE dan qiyinroq
Tizim mos keladigan \ (a \) parametrining barcha qiymatlarini toping \ [\ boshlanishi (holatlar) x A 2 + | x A 2-2x | = y A 2 + | y A 2-2y | \\ x + y = a \ end (holatlar) \] ikkitadan ortiq yechimga ega.
Birinchi tenglamani chizamiz. Buning uchun quyidagi holatlarni ko'rib chiqing:
1) \ (x A 2-2x \ geqslant 0 \), \ (y A 2-2y \ geqslant 0 \). Keyin tenglama shaklni oladi \ Keyin bu holda biz quyidagi grafikni olamiz:
- \ frac5 (12) x- \ frac (53) 6 \ keldik chiziqli
2) \ (x A 2-2x \ leqslant 0 \), \ (y A 2-2y \ leqslant 0 \). Keyin: \ Bu shuni anglatadiki, dastlabki ikki holat uchun grafik quyidagicha ko'rinadi:
4) \ (x A 2-2x \ leqslant 0 \), \ (y A 2-2y \ geqslant 0 \). Keyin bizda: \ Grafik 3-banddagi kabi bir xil parabola bo'ladi, faqat o'zgartirilgan o'qlar bilan:
Har bir qo'zg'almas \ (a \) uchun \ (x + y = a \) grafigi \ (y = -x + a \), ya'ni \ (y = -x \) ga parallel to'g'ri chiziqdir. (shuningdek, 1 -banddan \ (y = 1-x \) to'g'ri chiziqning parallel qismi).
Tizim ikkitadan ortiq yechimga ega bo'lishi uchun \ (y
= -x + a \) to'g'ri chiziq (1) (shu jumladan emas) dan (2) (shu jumladan) gacha
bo'lgan pozitsiyalarda bo'lishi kerak:
Haqiqatan ham, chiziq (2) holatda bo'lganda, tizim cheksiz echimlar to'plamiga ega bo'ladi (ya'ni, chiziqning bir qismi \ (y = 1-x \) uchun). \ (x \ in (- \ infty; -1] \ chashka \]
To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi
To'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi berilgan bo'lsin:
To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi, bu erda tegishli koordinata o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlar.
Umumiy tenglama bilan berilgan to'g'ri chiziqni tuzing:
Undan siz ushbu to'g'ri chiziq tenglamasini segmentlarda qurishingiz mumkin:
Tekislikda to'g'ri chiziqlarning o'zaro joylashishi.
Bayonot 1.
To'g'ri chiziqlar uchun va tenglamalar bilan berilgan:
Shu bilan birga, zarur va etarli:
Isbot: va mos keladi, ularning yo'nalish vektorlari va kollinear, ya'ni:
Ushbu chiziqlar orqali M 0 nuqtasini oling, keyin:
Birinchi tenglamani (2) ga ko'paytirib, ikkinchisiga qo'shsak:
Demak, (2), (3) va (4) formulalar ekvivalentdir. (2) o'rinli bo'lsin, u holda (*) sistemaning tenglamalari ekvivalent bo'ladi; mos keladigan to'g'ri chiziqlar mos keladi.
Bayonot 2.
(*) tenglamalar bilan berilgan to'g'ri chiziqlar parallel va bir-biriga to'g'ri kelmaydi, agar:
Isbot:
Agar ular mos kelmasa ham:
Mos kelmaydigan, ya'ni Kroneker-Kapelli teoremasiga ko'ra Bu faqat quyidagi hollarda mumkin:
Ya'ni (5) sharti ostida.
Birinchi tenglik (5) bajarilganda, - ikkinchi tenglikning bajarilmasligi tizimning (*) nomuvofiqligini beradi, to'g'ri chiziqlar parallel va bir-biriga mos kelmaydi.
Izoh 1.
Polar koordinatalar tizimi.
Biz tekislikdagi nuqtani o'rnatamiz va uni qutb deb ataymiz. Qutbdan chiqadigan nur qutb o'qi deb ataladi.
Keling, segmentlarning uzunligini o'lchash uchun masshtabni tanlaylik va m atrofida soat miliga teskari yo'nalishda aylanish ijobiy deb hisoblanishiga rozi bo'laylik. Berilgan tekislikning istalgan nuqtasini ko'rib chiqing, uning qutbgacha bo'lgan masofasini belgilang va uni qutb radiusi deb nomlang. Qutb o'qini mos keladigan tarzda aylantirishingiz kerak bo'lgan burchak bilan belgilanadi va qutb burchagi deb ataladi.
Ta'rif 3.
Nuqtaning qutb koordinatalariga uning qutb radiusi va qutb burchagi deyiladi:
Izoh 2. qutbda. Nuqtadan tashqari nuqtalar uchun qiymat yig'indiga qadar aniqlanadi.
Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimini ko'rib chiqaylik: qutb kelib chiqishi bilan, qutb o'qi esa musbat yarim o'q bilan mos keladi. Bu yerda. Keyin:
To'g'ri to'rtburchaklar dekart va qutb koordinata tizimlari o'rtasida qanday bog'liqlik bor.
Bernulli lemniskat tenglamasi. Uni qutb koordinata tizimida yozing.
Tekislikdagi to'g'ri chiziqning normal tenglamasi. Qutb o'qi, - koordinatali o'qdan o'tadigan o'q bilan mos kelsin. Bo'lsin:
Keling, unda:
Nuqta uchun shart (**):
Qutb koordinata sistemasidagi to'g'ri chiziq tenglamasi.
Bu erda boshlang'ichdan to'g'ri chiziqqa tortilgan uzunlik, normalning o'qga moyillik burchagi.
Tenglama (7) qayta yozilishi mumkin:
Tekislikdagi to'g'ri chiziqning normal tenglamasi.
Biz "tekislikdagi to‘g‘ri chiziq tenglamasi” bolimini o‘rganishni davom ettiramiz va ushbu maqolada “To‘g‘ri chiziqning segmentlardagi tenglamalari” mavzusini tahlil qilamiz. To'g'ri chiziq tenglamasining segmentlardagi shaklini, bu tenglama orqali berilgan to'g'ri chiziqni qurishni, to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasidan segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasiga o'tishni ketma-ket ko'rib chiqamiz. Bularning barchasi misollar va muammolarni hal qilish tahlili bilan birga bo'ladi.
To'g'ri burchakli koordinatalar sistemasi O x y tekislikda joylashgan bo'lsin.
Dekart koordinata tizimidagi tekislikdagi to'g'ri chiziq O xy xa + yb = 1 ko'rinishdagi tenglama bilan berilgan, bu erda a va b noldan boshqa ba'zi haqiqiy sonlar bo'lib, ularning qiymatlari uzunliklarga teng. O x va O y o'qlarida to'g'ri chiziq bilan kesilgan segmentlarning. Chiziq segmentlarining uzunligi boshlang'ichdan hisoblanadi.
Ma’lumki, to‘g‘ri chiziq tenglamasi bilan berilgan to‘g‘ri chiziqqa tegishli nuqtalardan har qandayining koordinatalari ushbu to‘g‘ri chiziq tenglamasini qanoatlantiradi. a, 0 va 0, b nuqtalar ushbu to'g'ri chiziqqa tegishli, chunki a a + 0 b = 1 ^ 1 = 1 va 0 a + b b = 1 ^ 1 = 1. a, 0 va b, 0 nuqtalar O x va O y koordinatalar o'qlarida joylashgan bo'lib, a va b birliklari bilan koordinata boshidan chiqariladi. Segmentning uzunligini kechiktirmoqchi bo'lgan yo'nalish a va b raqamlari oldida turgan belgi bilan belgilanadi. "-" belgisi chiziq segmentining uzunligini koordinata o'qining salbiy yo'nalishi bo'yicha chizish kerakligini ko'rsatadi.
Yuqorida aytilganlarning barchasini sxematik chizmada qo'zg'almas dekart koordinatalar tizimi O x y ga nisbatan to'g'ri chiziqlarni qo'yish orqali tushuntiramiz. Dekart koordinata sistemasida O x y to'g'ri chiziq qurish uchun x a + y b = 1 segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasidan foydalaniladi. Buning uchun o'qlarda a, 0 va b, 0 nuqtalarini belgilashimiz kerak, so'ngra bu nuqtalarni chizg'ich yordamida chiziq bilan bog'lashimiz kerak.
Chizma a va b raqamlari turli xil belgilarga ega bo'lgan holatlarni ko'rsatadi va shuning uchun segmentlarning uzunliklari koordinata o'qlarining turli yo'nalishlarida chiziladi.
Keling, bir misolni ko'rib chiqaylik.
To'g'ri chiziq x 3 + y - 5 2 = 1 ko'rinishdagi segmentlardagi to'g'ri chiziq tenglamasi bilan beriladi. Bu to'g'ri chiziqni Dekart koordinata sistemasidagi O x y tekislikda qurish kerak.
Yechim
To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasidan foydalanib, to'g'ri chiziq o'tadigan nuqtalarni aniqlaymiz. Bu 3, 0, 0, - 5 2. Keling, ularni belgilab, chiziq chizamiz.