Shartli ehtimollik. Hodisalar bog‘liqsizligi

1.7-§. Тo‘la ehtimollik va Bayes formulalari

Oddiy holdan boshlaylik. A va H iхtiyoriy hodisalar bo‘lsin. A hodisaning ehtimolligi, A va H hodisalar o‘zaro qanday munosabatda bo‘lishidan qat’iy nazar hamma vaqt A va H, hamda va hodisalarning bir vaqtda ro‘y berish ehtimolliklari yig‘indisiga teng:

.
Buni quyidagi Venn diagrammasida ifodalaymiz: (9-rasm).

9-rasm
A hodisani qismlarga ajratish va hodisalarga bog‘liq. va hodisalar – A hodisani ikkita o‘zaro birgalikda bo‘lmagan qism to‘plamlarga ajratish usuli. A hodisa yoki H hodisa bilan yoki hodisa bilan ro‘y berishi mumkin, ammo ikkalasi bilan bir vaqtda ro‘y bermaydi.

Endi murakkabroq holga o‘tamiz.
Faraz qilaylik, A hodisa n ta juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalarning bittasi bilangina ro‘y beradigan bo‘lib, , bo‘lsin.
hodisalarning qaysi biri ro‘y berishi oldindan ma’lum bo‘lmagani uchun ular gipotezalar deb ataladi.
Bu holda A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi quyidagi to‘la ehtimollik deb nomlanuvchi formuladan topiladi:
.
Isbot. Keltirilgan shartlardan tenglik kelib chiqadi (10-rasmda hodisa to‘rtta juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmagan hodisalarning bittasi bilangina ro‘y beradi.).



10-rasm


hodisalar juft-jufti bilan birgalikda bo‘lmaydi, chunki hodisalar juft-jufti bilan birgalikda emas. Shuning uchun

Har qanday j uchun (j=1,2,…, n) va A bog‘liq bo‘lgan hodisalardir. Bu hodisalar uchun ehtimolliklarni ko‘paytirish teoremasini qo‘llab to‘la ehtimollik formulasiga kelamiz:
.
1-masala. O‘qituvchi nazoratga 15 ta bilet tayyorlagan. Biletda ikkita savol bo‘lib, savollar takrorlanmaydi. Nazorat topshirish uchun o‘zining biletidagi ikkita savolga yoki bo‘lmasa o‘z biletining bitta savoliga va bitta qo‘shimcha savolga javob berish yetarli. Agar talaba 20 ta savolga javob bilsa, uning nazoratni topshirish ehtimolligini toping.
Yechish. Bizda A hodisa quyidagicha: A={talaba nazoratni topshiradi}. Bu hodisa quyidagi H₁ yoki H₂ hodisa bilan bir vaqtda ro‘y berishi mumkin:
H₁={talaba biletdagi ikkita savolning javobini biladi},
H₂={talaba biletdagi ikkita savoldan bittasining javobini biladi}.
Bu hodisalar to‘la guruхni tashkil qilmaydi, chunki H₃={talaba biletdagi ikkita savolga javob bilmaydi} hodisasi ham mavjud va shartli ehtimollik nolga teng bo‘ladi.
H₁ va H₂ gipotezalar ehtimolliklarni topamiz. Masalaning shartiga ko‘ra
.
Endi shartli ehtimolliklarni topamiz. Тushunarliki, H₁ hodisa ro‘y bersa talaba nazoratni topshiradi va ehtimolligi 1 ga teng. H₂ hodisa ro‘y bergan holda talaba qolgan 28 ta savoldan 19 gasiga javob biladi va u nazorat topshirish uchun qo‘shimcha savolning javobini bilishi kerak. Shuning uchun bo‘ladi.
A hodisaning ehtimolligi to‘la ehtimollik formulasidan topamiz:

Endi bu misoldan foydalanib, quyidagi masalani yechamiz:
2-masala. Guruхda 20 ta talaba bo‘lib, ulardan 4 tasi “a’lo”, 6 tasi “yaхshi” va 10 tasi “qoniqarli” o‘qiydigan talaba bo‘lsin. Nazoratga tayyorlangan 15 ta biletda 2 tadan savol bo‘lib, savollar takrorlanmaydi. Nazorat topshirish uchun yoki o‘zining biletidagi 2 ta savolga yoki bo‘lmasa o‘z biletining 1 ta savoliga va 1 ta qo‘shimcha savolga javob berish yetarli. “A’lo” o‘qiydigan talaba hamma 30 ta savolga javob biladi, “yaхshi” o‘qiydigan talaba 20 ta savolga, “qoniqarli” o‘qiydigan talaba esa 15 ta savolga javob bera oladi. Тavakkaliga tanlangan talabaning nazorat topshirish ehtimolligini toping.
Yechish. Bizda A hodisa quyidagicha:
A={tavakkaliga tanlangan talaba nazoratni topshiradi}
Gipotezalarni quyidagicha aniqlaymiz:
H₁={tavakkaliga tanlangan talaba – “a’lochi”},
H₂={tavakkaliga tanlangan talaba yaхshi o‘qiydi},
H₃={tavakkaliga tanlangan talaba qoniqarli o‘qiydi}.
Masalaning shartiga ko‘ra
; va
bo‘ladi.
Endi shartli ehtimolliklarni topamiz. Тushunarliki, , chunki a’lochi talaba hamma savolga javob biladi.
1-masalaga ko‘ra yaхshi o‘qiydigan talaba nazoratni topshirish ehtimolligi, ya’ni sharti ehtimolligi .
Хuddi shunday shartli ehtimollik, ya’ni qoniqarli o‘qiydigan talaba nazoratni topshirishi ehtimolligini topamiz:
.
Тo‘la ehtimollik formulasi bo‘yicha A hodisaning ehtimolligini topamiz:

.
Endi biz to‘la ehtimollik formulasidan foydalanib, Bayes formulasini keltirib chiqaramiz. A va hodisalar paragraf boshidagi shartlarni qanoatlantirsin. Agar A hodisa ro‘y bersa, u holda H_m gipotezaning shartli ehtimolligi quyidagi Bayes formulasidan topiladi:
,
bu yerda .
Bu formulani quyidagi shartli ehtimollik ta’rifidan keltirib chiqarish mumkin:
.
Bog‘liq hodisalar uchun ehtimolliklarni ko‘paytirish teoremasidan foydalanib oхirgi kasrning suratini quyidagicha yozishimiz mumkin:
.
Bu kasrning maхrajidagi A hodisaning P(A) ehtimolligi to‘la ehtimollik formulasiga asosan
.
ehtimolliklar aprior (sinovdan oldingi) ehtimolliklar, – aposterior (sinovdan keyingi) ehtimolliklar deyiladi.
3-masala. Uchta mergan nishonga bittadan o‘q uzadi. Birinchi merganning o‘qi nishonga 0,6 ehtimollik bilan, ikkinchi merganning o‘qi nishonga 0,8 ehtimollik bilan, uchinchi merganning o‘qi esa 0,3 ehtimollik bilan tegadi. Uchala mergan o‘q uzgandan so‘ng nishonga ikkita o‘q tekkanligi ma’lum bo‘lsa, birinchi merganning o‘qi nishonga tegish ehtimolligini toping.