Shryodinger tenglamasi

2. Cheksiz chuqur, bir o'lchovli potensial o'radagi zarracha xarakati

Zarracha kengligi  bo'lgan cheksiz chuqur potensial o'rada harakatlanayotgan bo'lsin. O'raning devorlari cheksiz baland bo'lgani uchun zarracha undan tashqariga chiqa olmaydi. Uni koordinatasi 0  х  qiymatlarni olishi mumkin. Zarracha o'raning devorlariga urilib, undan qaytishi natijasida devorlar orasida to’g’ri chiziqli traektoriya bilan harakat qilishi mumkin. Zarrachaning bu o'radagi potensial energiyasi manfiy va cheksizdir (u=-). Agar elektron o'radan chiqqan taqdirda ham, uning potensial energiyasi nol bo'lib, u erkin zarrachaga aylanadi. Shunday qilib l kenglikdagi, cheksiz chuqur potensial o'radagi zarrachaning potensial energiyasi uchun

U(x)=



shartni yozish mumkin. Bunday potensial o'raning grafigi 6.1-rasmda ko'rsatilgan. Agar bu o'radagi zarrachaning to’lqin xususiyatini hisobga olsak, unga de-Broyl turg’un to’lqini mos keladi. Bu de-Broyl turg’un to’lqini ikki uchi maxkamlangan torda hosil bo'luvchi to’lqinga o'xshatish mumkin. Ma'lumki, bunday tor bitta chastota bilan emas, balki o'zini xususiy chastotasiga karrali bo'lgan bir necha chastotada tebranishi mumkin.

Ikki uchi mahkamlangan bunday torda turg’un to’lqin hosil bo'ladi. Torning uzunligiga bir necha turg’un to’lqin to’g’ri keldi. Bunda torning uzunligiga doimo butun sondagi yarim to’lqin uzunligi joylashdi:

, n=1,2,3,... (6.6)

Potensial o'radagi elektron uchun tegishli bo'lgan de-Broyl to’lqini ham turg’un to’lqindan iborat bo'ladi.(6.6) formuladagi ni o'rniga to’lqin soni K ni qo'ysak, de-Broyl formulasini quyidagi ko'rinishda yozish mumkin.

 , n=1,2,3,... (6.7)

(6.7) formuladan ko'rinadiki, potensial o'radagi elektronning impulsi diskret qiymatlarni oladi yoki boshqacha aytganda u kvantlanadi.

Energiya bilan impuls orasidagi Е=р²/2m bog’lanishni hisobga olib elektronning energiyasi uchun E=n² ,n=1,2,3,... (6.8)

formulani hosil qilamiz.

(6.8) formuladan ko'rinadiki, potensial o'radagi elektronning energiyasi ham kvantlanar ekan. Biz (6.8) formulani Shredinger formulasidan foydalanmay, o'radagi elektronga tegishli bo'lgan de-Broyl to’lqinini ikki uchi mahkamlangan torda hosil bo'luvchi turg’un to’lqinga o'xshatib keltirib chiqardik. (6.8) formulani Shredinger tenglamasi yordamida ham keltirib chiqarish mumkin.

Potensial o'rada elektron X o'qi yo'nalishida gorizontal chiziq bo'ylab harakatlanadi deb olganimiz uchun Shredinger tenglamasi quyidagi ko'rinishda bo'ladi:

 (6.9)

O'rani devorlari cheksiz baland bo'lgani uchun zarracha o'radan tashqariga chiqa olmaydi. Shuning uchun zarrachani o'radan tashqarida bo'lish ehtimolligi nolga teng.

O'rani chetlarida x=0 va х= bo'lganda to’lqin funksiya ham nolga aylanadi. Ya'ni chegaraviy shart

(x)=()=0 (6.10)

ko'rinishda bo'ladi.

O'rani ichidagi zarracha uchun Shredinger tenglamasi

yoki

 (6.11)

kurinishda buladi. Bu yerda

к²=  (6.12)

(6.11) ko'rinishdagi differentsial tenglamaning umumiy yechimi

 (х) = A sinkx + В соskx

tenglamadan iborat bo'ladi. Agar (6.10) chegaray shartdan  (0)=0bo'lishi uchun В=0 ekanligini hisobga olsak, (6.12) tenglamani echimi

 (х) = Asinkx (6.13)

bo'ladi. х= ekanligini hisobga olsak, (6.13) formula

 () = Asinкх

ko'rinishni oladi. Yuqoridagi (6.10) chegara shart, ya'ni  () = Asink=0 bo'lishi faqat k= n bo'lganda bajariladi. Demak,

 (6.14)

ekan.

(6.14) ni (6.12) ga qo'yib, zarrachaning energiyasi uchun

 (6.15)

ifodani topamiz. Bu ifoda yuqorida boshqacha yo'l bilan topilgan (6.15) ifodaning o'zginasi. (6.15) formuladagi n, n =1,2,3,... bo'lgan butun sonlar qatorini qabul qiladi va uni kvant soni deb ataladi. Energiyaning kvantlangan qiymatini energiya sathi deb yuritiladi. Energetik sathni tartibini kvant soni n belgilaydi. Shunday qilib, potensial o'radagi zarracha faqat aniq bir energetik sathda, yoki boshqacha aytganda aniq bir n kvant holatida bo'lar ekan.

Energiyaning kvantlanishini grafik usulda tasvirlash qulay. Energiya kvantini qiymati yoki boshqacha aytganda (6.15) formula bilan topilgan energetik sathlar X o'qiga parallel bo'lgan gorizontal chiziqlardan iborat bo'ladi (6.2-rasm). Zarrachaning to’liq energiyasi E potensial va kinetik energiyaning yig’indisiga teng bo'ladi (E=U+E_k). Yuqorida aytib o'tganimizdek cheksiz chuqur o'radagi zarrachaning potensial energiyasi U=- bo'ladi. Yuqoridagi energiyaning kvantlanish formulasi (6,15) zarrachaning kinetik energiyasiga tegishli. Ma'lumki, kinetik energiya doimo musbat. Ammo o'radagi zarrachaning to’liq energiyasi manfiy bo'ladi. Chunki,

Е=-  +Е_к <0

Bunday bo'lishi bog’langan zarracha uchun o'z-o'zidan tushunarli. Faqat n= bo'lganda zarrachaning kinetik energiyasi cheksiz katta bo'lib, to’liq energiyasi nol bo'lishi mumkin. Bu holda zarracha potensial o'radan chiqadi va erkin zarrachaga aylanadi. (6.13) formulaga K ning (6.14) ifodasini qo'yamiz:

 (х) = Asin x

Bu tenglamadagi A ni ehtimollikning normirovkalash shartidan topamiz. Ya'ni,

Yuqoridagi ifodani integrallab, undan A=  ekanligini topamiz va _n (х) funksiya

_n (х)=   sin x (n=1, 2, 3, . . .) (6.16)



ko'rinishda bo'ladi. Bu funksiyani n=1,2,3 bo'lgandagi grafigi va unga mos energetik sathlar 6.3(a)-rasmda ko'rsatilgan. 6.3(b)-rasmda zarrachani o'ranning qayerida topilish ehtimolligi zichligi -_n(x)², n=1, 2, 3 kvant holatlar uchun tasvirlangan. 6.3(b)-rasmdan ko'rinadiki, n=2 kvant holat uchun zarracha o'raning o'rtasida bo'lishi mumkin emas, ammo uni chap va o'ng tomonlarida bo'lish ehtimolligi bir xil. Zarrachalarning bunday xususiyati kvant mexanikasida zarrachaning trayektoriyasi degan tushunchaning ma'nosi yo'qligini bildiradi. (6.15) formulaga ko'ra ikki ko'shni energetik sathlar orasidagi energiya oralig’i quyidagicha aniqlanadi:

 (6.17)

Agar o'raning kengligi katta bo'lsa, E juda kichik bo'ladi. Masalan, o'raning kengligi  =10^-1m bo'lganda (metalldagi erkin elektronlar uchun) Е1,2∙10^-35 nJ=0,74∙10^-16 neV bo'ladi. Ya’ni bunday kichik qiymati metalldagi erkin elektronlar energiya sathlari juda zich joylashganligi, ya’ni energiya spektri uzluksiz ekanligini ko'rsatadi. Agar o'raning kengligi atom o'lchamiga yaqin bo'lsa (=10^-10 m), E_n uchun E_n=1,2∙10^-17 nJ=0,74∙10² neV qiymat kelib chiqadi. Bu miqdor turli kvant holatda bo'lgan elektronlarning energiyalari bir-biridan farq qilishini ko'rsatadi. Shunday qilib, Shredinger tenglamasini chuqur potensial o'radagi zarrachaga tadbiqi zarracha energiyasining kvantlanishini ko'rsatadi. Klassik mexanikada esa zarracha energiyasiga hech qanday chegara qo'yilmaydi.

Bundan tashqari (6.15) formuladan potensial o'radagi zarrachaning eng kichik energiyasi n=1 bo'lgandagi

formula bilan aniqlanuvchi energiyadan kichik bo'la olmaydi. Zarrachaning eng kichik energiyasini noldan katta bo'lishi noaniqliklar munosabatidan kelib chiqadi.

Ma'lumki, kengligi  bo'lgan o'rada koordinatani noaniqligi x=  bo'ladi. Bunda noaniqliklar munosabati (6.3) ga binoan zarrachalarning impulsi nol bo'la olmaydi. Impulsning noaniqligi ph/  bo'ladi. Impulsning bunday o'zgarishiga E_min(р)²/(2m) /2m² kinetik energiya mos keladi. Boshqa qolgan sathlarning (n >1) energiyasi eng kichik energiyadan doimo katta bo'ladi.

(6.15) va (6.17) formulalardan kvant sonlarining katta qiymatlarida (n>>1) E_n/E_n  <<1 bo'lib, qo'shni energetik sathlar bir-biriga yaqinlashib, diskretlik yo'qoladi. Bu natija Borning moslik prinsipining (1923) xususiy xoli bo'lib, yuqori kvant sonlarida kvant mexanikasi qonunlari klassik fizika qonunlariga aylanishini ko'rsatadi. Hozirgi zamon fizikasida muhim rol o'ynaetgan moslik prinsipiga quyidagi ta'rifni berish mumkin: Klassik fizikani rivojlantirish natijasida yaratilgan har qanday yangi nazariya klassik nazariyani to’liq inkor etmaydi, balki uni ham o'z ichiga olib, qo'llanish chegarasini ko'rsatib, ma'lum chegaraviy hollarda u eskisiga aylanadi.

Ma'lumki, maxsus nisbiylik nazariyasining kinematikasi va dinamikasi formulalari v<