Shturm ko’phadlar qatori. Shturm teoremasi

1-xossa. Hech qaysi ikkita yonma-yon turuvchi Shturm ko’phadlari umumiy haqiqiy ildizga ega emas.

Isboti. Faraz qilaylik, fk(x) va fk+1(x) ko’phadlar umumiy x=a ildizga ega bo’lsin. (2) tengliklarga asosan ushbu

fk-1(x)=fk(x)gk(x)-fk+1(x) (5) tenglikni hosil qilamiz va o’ng tomonning x-a ga bo’linishini ko’ramiz (chunki fk(x) va fk+1(x) uchun a ildizdir), demak, fk-1(x) ham x-a ga bo’linadi. Endi (5) dan oldingi turgan tenglikka o’tib, xuddi shu yo’l bilan fk-2(x) ham x-a ga bo’linadi degan natijaga kelamiz va hakozo.

Yuqoriga tomon birma-bir qadam qo’ya borib, (2) dagi ikkinchi va birinchi teng-liklardan f(x) va f΄(x) ning x-a ga bo’linishini topamiz. Lekin bunday bo’lishi mumkin emas, chunki f(x) va f΄(x) o’zaro tubdir.

2-xossa. Agar fk(x) oraliq ko’phad uchun a haqiqiy ildiz bo’lsa, u bilan yonma-yon turgan ikki fk-1(x) va fk+1(x) ko’phadning x=a ga mos qiymatlari qarama-qarshi ishoraga ega.

2-xossa. Agar fk(x) oraliq ko’phad uchun a haqiqiy ildiz bo’lsa, u bilan yonma-yon turgan ikki fk-1(x) va fk+1(x) ko’phadning x=a ga mos qiymatlari qarama-qarshi ishoraga ega.

Isboti. Shart bo’yicha fk(a)=0 bo’lib, birinchi xossaga asosan fk-1(a)≠0 va fk+1(a)≠0. Endi fk-1(x)= fk(x)gk(x)-fk+1(x)

tenglikdan x=a qiymatda fk-1(a)=- fk+1(a) kelib chiqadi. Bu esa xossani isbotlaydi.

3-xossa. Agar x o’sa borib, biror oraliq ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa, (3) Shturm qatoridagi ishora almashinishlar soni o’zgarmaydi.

3-xossa. Agar x o’sa borib, biror oraliq ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa, (3) Shturm qatoridagi ishora almashinishlar soni o’zgarmaydi.

Isboti. Masalan, a ni fk(x) ning haqiqiy ildizi deylik. Bu vaqtda fk-1(a) va fk+1(a) noldan farqli va qarama-qarshi ishoralarga ega bo’ladi. Endi shunday kichik (a-ε, a+ε) oraliqni olaylikki, bu oraliq ichida va chegaralarida fk-1(x) va fk+1(x) ning haqiqiy ildizlari bo’lmasin. Demak, biz olgan oraliqda fk-1(x) va fk+1(x) ning ishorasi o’zgarmaydi. Aniqlik uchun (a-ε, a+ε) oraliqda, masalan, fk-1(x)<0 va fk+1(x)>0 deylik. U vaqtda shu oraliq bilan chegaralanib ishoralarining ushbu jadvalini hosil qilamiz: