Simmetriya o'qqa nisbatan simmetriya

2.1. O'qqa nisbatan simmetriya. Bizga tekislikda / to'g'ri chiziq berilgan bo'lsin (66- rasm). Ma'lumki, / to'g'ri chiziq tekislikni ikki yarim tekislikka ajratadi. Yarim tekisliklarning birida A nuqta olaylik va u nuqtadan / to'g'ri chiziqqa perpendikular AB to'g'ri chiziqni o'tkazaylik. Bunda 5e/. So'ngra

AB to'g'ri chiziqning ikkinchi yarim tekisligidagi bo'lagida AB kesmaga teng BA_X kesma qo'yamiz. Hosil qilingan A_] nuqta, A nuqtaga / to'g'ri chiziqqa nis-batan simmetrik nuqta deyiladi. / to'g'ri chiziq esa simmetriya o'qi deb ataladi. Simmetriya o'qida yotgan nuqtalar o'z-o'ziga simmetrik nuqtalar deb qarala-di. Biz ko'rgan holda В nuqtaga simmetrik nuqta shu В nuqtaning o'zidir.
Endi biror Q shaklni qaraylik (67- rasm). ShakJ nuqtalardan tashkil topgan bo'ladi.

U zaro simmetrik snakJlardan bin lkkinchisining simmetrik akst deb nom-lanadi. Albatta, agar Q shakl Q, shaklning simmetrik aksi bo'lsa, Q, shakl ham Q shaklning simmetrik aksi bo'ladi.
To'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrik ikkita geometrik shakl o'zaro tengdir.
2.2. O'qqa nisbatan simmetriyaning xossasi.


Isbot. F shaklning / o'qqa nisbatan simmetrik aksi F_{ bo'lsin (68- rasm). F shaklning ixtiyoriy A va В nuqtalarini olaylik. Ularga simmetrik bo'lgan nuqtalarni mos ravishda A_x va B_x bilan belgilaymiz.
AB = A_lB_i ekanini isbot qilishimiz kerak. Isbot qilish uchun AA_X kesmani / o'qi bilan kesishgan nuqtasini С bilan, BB_X ning / o'qi bilan kesishgan nuq-tasini D bilan belgilaymiz. So'ngra С nuqtani В va B_x bilan tutashtiruvchi CB va CB_X kesmalarni o'tkazarniz. Hosil bo'lgan BDC va B_XDC to'g'ri bur-chakli uchburchaklar o'zaro teng, chunki ularda CD katet umumiy hamda В va B_x — simmetrik nuqtalar bo'lgani uchun BD= DB_X. Bundan С В = CB_X va ^BCD= /LB_XCD kelib chiqadi.
E ndi ABC va A_XB_XC uchburchaklarni solishtiramiz. Bularda AC = A_XC, chunki /4, nuqta A ga simmetrik. Yuqorida CB= CB_y ekanini isbot qildik.
Z-BCA = /-В_{СА_{, chunki ular o'zaro teng bo'lgan burchaklarni 90° ga to'ldiruvchi burchaklar, ya'ni /_BCA= 90° - ^BCD va tB_xCA_x= 90° -— LB_XCD. Demak, qaralayotgan ABCva A_XB_XC uchburchaklarda mos ikki to-mon va ular orasidagi burchak teng ekan. Uchburchaklar tengligining birinchi alomatiga ko'ra bu uchburchaklar teng. Bundan AB = A_XB_X ekani kelib chiqadi.
Ma'lumki, A va В nuqtalarni ixtiyoriy oldik. Shunday hoi bo'lishi mum-kinki, A, B, A_x va B_x nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotib qoladi. U holda ham teorema isboti simmet-riya xossasidan oddiygina hosil qili-nadi (69- rasm). Haqiqatan ham, AC = A_XC va BC=B_XC ekani rav-shan. Shuning uchun AB = AC— ВС va A_XB_X=A_XC- B_xC, bundan AB = = A_XB_X kelib chiqadi.
Demak, A va В nuqtalar F shaklning ixtiyoriy nuqtalari bo'l­gan hoi uchun teorema isbot qilindi.