Singulyar integral tengsizliklarning integral va integro-differensial tenglamalar yechimlarini tadqiq qilishga tadbiqlari

3.1.2-teorema. Faraz qilaylik tenglamada va funksiyalar quyidagi shartlarni qanoatlantirsin:
1) funksiya

sohada, funksiya esa

sohada aniqlangan va uzluksiz funksiyalar bo’lib, bundan tashqari

shartlar bajarilsin, bu yerda bo’lib, toq son deb hisoblaymiz.
2)
;

U holda integral tenglama yoki bari bir masala yagona uzluksiz yechimga ega bo’ladi.
Isbot. tengliklardan ketma-ket quyidagilarni topamiz:



bu yerda
Demak,

Agar deb belgilab olsak,
tengsizlikka ega bo’lamiz.
Bunga ko’ra qiyidagilarni topamiz.



Bu tengsizliklardan ko’rinadiki

qator oraliqda tekis yaqinlashadi, chunki

Sonli qator bo’lganda yaqinlashuvchi.
Demak, oraliqdagi barcha lar uchun tekis bajariladi. Osongina ko’rsatish mumkinki funksiya va demak masalaning yechimi bo’ladi. Endi topilgan yechimning yagonaligini ko’rsatamiz.
Faraz qilaylik tenglama ikkita va yechimlarga ega bo’lsin. U holda ularning har biri tenglamani qanoatlantirishi kerak. Teorema shartiga ko’ra

Bu esa 3.1.1-teoremaga ko’ra yoki . Demak yechim yagona ekan.
Endi aniq va taqribiy yechimlar orasidagi farqni baholaymiz. masalaning aniq yechimi va esa uning taqribiy yechimi (ya’ni unga chi yaqinlashish bo’lsin).
va larni o’zaro ayirib quyidagiga ega bo’lamiz:

O’ng tomidagi modullar orasidagi ifodaga ni qo’shib va ayirib quyidagi tengsizlikni hosil qilamiz:

Bu tengsizlikdagi ayirma modulini formula yordamida baholaymiz



yoki
.
Bu tengsizlikda , desak

tengsizlik hosil bo’ladi. Shunday qilib bu ishda masalaning yechimini tadqiq qilishda integral tengsizliklar haqida teorema isbotladik va uning tadbiqlarini ko’rib chiqdik.