2.2.1-Teorema. Faraz qilaylik oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya
Integral tengsizlikni qanoatlantirsin, bu yerda , sonlar. U holda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Bu teoremaning shartlari bajarilganda oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin
Bu tasdiqning to’g’riligini qatorlar va xosmas integrallar orasidagi bog’lanishlarga asoslanib ko’rsatish mumkin.
Biz quyida yadroning ko’rinishi bo’lgan hol uchun umumlashtirish mumkinligini ko’rsatamiz.
Ma’lumki Gronuoll tengsizligi differensial, integral va integro-differensial tenglamalar nazariyasida muhim tadbiqlarga ega. Gronuoll tengsizligining ko’plab umumlashmalari [3,4,5] ishda keltirilgan bo’lib ularning eng umumiy ko’rinishi
dan iborat.
Biz bu yerda
singulyar yadrodan iborat bo’lgan holni qaraymiz. Bu funksiya to’g’ri chiziq bo’ylab cheksiz uzulishga ega.
2.2.2-Teorema . Faraz qilaylik funksiya segmentda aniqlangan uzluksiz funksiya bo’lib, ushbu
integral tengsizlikni qanoatlantirsin.
Bu yerda sonlar, segmentda uzluksiz va
son
shartni qanoatlantirsin, u holda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.
va bo’lsa bo’ladi.
Isbot. Teoremani ketma-ket o’rniga qo’yish usuli yordamida isbotlaymiz. tengsizlikning o’ng tomonidagi o’rniga tengsizlikning o’ng tomonida turgan ifodani ketma-ket qo’yib quyidagiga ega bo’lamiz.
yoki
Endi larni baholaymiz.
Bu integralda almashtirish olamiz. U holda da da bo’lib
Endi oxirgi integralda almashtirish olamiz. U holda da da bo’lib
ga ega bo’lamiz.
Bu integralda deb olsak
Demak,
Huddi yuqoridagidek hisoblashlarni takrorlab
ni topamiz. Buni quyidagicha yozish mumkin
Bu jarayonni davom ettirib
ga ega bo’lamiz. Osongina ko’rsatish mumkinki da bo’ladi va quyidagiga ega bo’lamiz
.
Endi oxirgi qatorning qismida tekis yaqinlashishini ko’ramiz. Soddalik uchun deb olamiz, , va quyidagi sonli qatorni qaraymiz
Bu yerdagi ni Gauss formulasi yordamida almashtiramiz.
Dalamber alomatiga ko’ra
Ba’zi bir elementar hisoblashlardan keyin ekanligini ko’rsatish mumkin. Bu esa qatorning yaqinlashishini ko’rsatadi. Bundan esa tengsizlikdagi qatorning kesmada tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. Shu bilan teorema to’liq isbot bo’ldi.
Do'stlaringiz bilan baham: |