Singulyar integral tengsizliklarning integral va integro-differensial tenglamalar yechimlarini tadqiq qilishga tadbiqlari

2.2.1-Teorema. Faraz qilaylik oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya

Integral tengsizlikni qanoatlantirsin, bu yerda , sonlar. U holda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Bu teoremaning shartlari bajarilganda oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin

Bu tasdiqning to’g’riligini qatorlar va xosmas integrallar orasidagi bog’lanishlarga asoslanib ko’rsatish mumkin.
Biz quyida yadroning ko’rinishi bo’lgan hol uchun umumlashtirish mumkinligini ko’rsatamiz.
Ma’lumki Gronuoll tengsizligi differensial, integral va integro-differensial tenglamalar nazariyasida muhim tadbiqlarga ega. Gronuoll tengsizligining ko’plab umumlashmalari [3,4,5] ishda keltirilgan bo’lib ularning eng umumiy ko’rinishi

dan iborat.
Biz bu yerda

singulyar yadrodan iborat bo’lgan holni qaraymiz. Bu funksiya to’g’ri chiziq bo’ylab cheksiz uzulishga ega.
2.2.2-Teorema . Faraz qilaylik funksiya segmentda aniqlangan uzluksiz funksiya bo’lib, ushbu

integral tengsizlikni qanoatlantirsin.
Bu yerda sonlar, segmentda uzluksiz va
son
shartni qanoatlantirsin, u holda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi.

va bo’lsa bo’ladi.
Isbot. Teoremani ketma-ket o’rniga qo’yish usuli yordamida isbotlaymiz. tengsizlikning o’ng tomonidagi o’rniga tengsizlikning o’ng tomonida turgan ifodani ketma-ket qo’yib quyidagiga ega bo’lamiz.


yoki

Endi larni baholaymiz.


Bu integralda almashtirish olamiz. U holda da da bo’lib

Endi oxirgi integralda almashtirish olamiz. U holda da da bo’lib

ga ega bo’lamiz.
Bu integralda deb olsak



Demak,


Huddi yuqoridagidek hisoblashlarni takrorlab

ni topamiz. Buni quyidagicha yozish mumkin

Bu jarayonni davom ettirib

ga ega bo’lamiz. Osongina ko’rsatish mumkinki da bo’ladi va quyidagiga ega bo’lamiz
.
Endi oxirgi qatorning qismida tekis yaqinlashishini ko’ramiz. Soddalik uchun deb olamiz, , va quyidagi sonli qatorni qaraymiz

Bu yerdagi ni Gauss formulasi yordamida almashtiramiz.

Dalamber alomatiga ko’ra




Ba’zi bir elementar hisoblashlardan keyin ekanligini ko’rsatish mumkin. Bu esa qatorning yaqinlashishini ko’rsatadi. Bundan esa tengsizlikdagi qatorning kesmada tekis yaqinlashishi kelib chiqadi. Shu bilan teorema to’liq isbot bo’ldi.