Singulyar integral tengsizliklarning integral va integro-differensial tenglamalar yechimlarini tadqiq qilishga tadbiqlari

2.1.2-teorema . Agar oraliqda aniqlangan uzluksiz funksiya va o’zgarmas ( -juft son) sonlar uchun

tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda

bo’lganda ushbu

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Agar bo’lsa bo’ladi.
Isbot. Teoremani ketma-ket o’rniga qo’yish usuli yordamida isbotlaymiz. tengsizlikning o’ng tomonidagi va lar o’rniga ulardan kichchik bo’lmagan tengsizlikning o’ng tomonidagi ifodani qo’yamiz. So’ngra hosil bo’lgan tengsizlik uchun shu ishni bajaramiz va h.k. natijada quyidagi tengsizlik hosil bo’ladi:

bu yerda










Endi …., va larni ketma-ket hisoblab chiqamiz.


Demak, xuddi shuningdek

ga ega bo’lamiz.
Endi ekanligini nazarga olib uchun baho topamiz. Ko’rinib turibdiki


Endi ketma-ket qo’yish protsessini cheksiz davom ettirishga krishamiz. Buning uchun tengsizlikda da limitga o’tish yetarli. Bu holda

va ushbu tengsizlik hosil bo’ladi:

yoki

Bu esa isbot talab etilgan tengsizlikdir.
Abel yadroli Vol’terra tipidagi integral tengsizlik.
Ma’lumki integral, differensial va integro-differensial tenglamalar yechimlari va ularning xossalarini o’rganishda integral tengsizliklar muhim ahamiyatga ega. Hozirgi kunda integral tengsizliklar nazariyasi matematika fanining chuqur rivojlangan sohalaridan biri bo’lib, bu yo’nalishda O’zbekistonlik va chet el olimlari ko’plab ilmiy izlanishlar olib borishmoqda.
Gronuoll tomonidan o’rganilgan

integral tengsizlik va uning ko’plab umumlashmalari differensial tenglamalar yechimlarining mavjudligi, yagonaligi, turg’unligi va boshqa hossalarini o’rganishga tadbiq etilgan va bu g’oya asosida ko’plab ilmiy natijalar olingan.
Gronuoll tengsizligining umumlashgan ko’rinishlaridan biri

bo’lib, bunda , , oraliqda, , , sohada aniqlangan uzluksiz funksiyalar deb qaraladi. Bu holda uning yechimi

ko’rinishda topiladi. Bu yerda

tenglamaning rezolventasi.
Mazkur ishda va yadro

ko’rinishda olinadi va u Abel yadrosi deb ataladi. Bu yadro chiziq bo’ylab uzulishga ega. Bunda quyidagi teorema o’rinli bo’ladi.